[论文解读] Spin and Anholonomy in General Relativity

R. Aldrovandi, P. B. Barros+1 more|ArXiv.org|Feb 4, 2004

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文表明，在广义相对论中，自旋与 torsion 的表观耦合实际上源于 tetrad 的非完全可积性（anholonomy），后者编码了参考系的加速度与转动。关键结果是，在广义相对论的规范平行理论（teleparallel equivalent）中，存在的唯一 torsion 恰好是 anholonomy 系数，表明自旋-引力耦合源于非惯性参考系中的惯性效应，而非基本的 torsion。

ABSTRACT

In the general case, torsion couples to the spin current of the Dirac field. In General Relativity, the apparent torsion field to which the spin current of the Dirac field couples is a mere manifestation of the tetrad anholonomy. Seen from the tetrad frame itself, it has for components the anholonomy coefficients. The latter represent mechanical characteristics of the frame. In the teleparallel equivalent of General Relativity, this coefficient turns out to be the only torsion present.

研究动机与目标

• 澄清广义相对论中自旋-张量耦合的物理起源。
• 表明狄拉克方程中表观的张量耦合源于参考系的非完全可积性，而非时空本身的内在张量。
• 确立在广义相对论的规范平行等价形式中，唯一存在的张量即为非完全可积系数。
• 证明相对于惯性系测量的惯性效应——加速度与转动——通过非完全可积系数编码于自旋联络中。

提出的方法

• 使用 tetrad 定义局部洛伦兹参考系，并将 Levi-Civita 连接用 tetrad 分量表示。
• 通过 tetrad 投影从克里斯托费尔符号推导出自旋联络 $\stackrel{\circ}{\omega}^{a}{}_{bc}$，并展示其在狄拉克方程中的作用。
• 引入非完全可积系数 $f^{a}{}_{bc}$ 作为自旋联络在 tetrad 坐标系中的分量，代表机械参考系的性质。
• 沿类时曲线分析费米-沃克平行移动，以定义自旋联络为零的惯性参考系。
• 表明任意非惯性参考系中的自旋联络与从惯性参考系出发的洛伦兹变换的时间导数相关。
• 在规范平行形式中证明 $T^{a}{}_{cb} = -f^{a}{}_{cb}$，即张量等于负的非完全可积系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义相对论的狄拉克方程中，自旋与张量耦合的物理起源是什么？
• RQ2 加速度与转动等惯性效应如何在非惯性 tetrad 参考系的自旋联络中体现？
• RQ3 在广义相对论的规范平行等价形式中，非完全可积系数与张量张量之间有何关系？
• RQ4 能否从相对于惯性系的洛伦兹变换参数的时间导数，完全重构非惯性系中的自旋联络？
• RQ5 为何自旋联络在惯性系中为零，这与该系中无表观张量的出现有何关联？

主要发现

• 狄拉克场的自旋流并非耦合于时空的内在张量，而是耦合于 tetrad 参考系的非完全可积性。
• 非完全可积系数 $f^{a}{}_{bc}$ 表示参考系相对于惯性系的加速度与转动。
• 在广义相对论的规范平行等价形式中，唯一存在的张量为 $T^{a}{}_{cb} = -f^{a}{}_{cb}$，表明张量纯粹是参考系非完全可积性的表现。
• 非惯性系中的自旋联络由 $\stackrel{\circ}{\omega}^{a}{}_{bc} = h_{c}(\alpha^{a}{}_{b})$ 给出，其中 $\alpha^{a}{}_{b}$ 为洛伦兹提升与旋转参数。
• 提升参数的时间导数给出参考系的加速度：$f^{0k}{}_{0} = \stackrel{\circ}{a}{}^{k} = \stackrel{\circ}{\omega}^{k}{}_{00}$。
• 旋转角参数的时间导数给出角速度：$f_{0ij} = -\stackrel{\circ}{\omega}_{ij0} = -\epsilon_{ijk}\omega^{k}$，将自旋联络与里奇转动系数联系起来。