[论文解读] Spin Foam Models and the Classical Action Principle

Laurent Freidel, Kirill Krasnov|ArXiv.org|Jul 13, 1998

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 17被引用 16

一句话总结

本文提出了一种系统方法，通过聚焦于时空中集中在二维曲面上的B场的分布配置，从经典作用量泛函推导自旋泡沫模型。在BF理论的微扰理论框架下，成功重现了BF理论和二维杨-米尔斯理论的已知模型，并计算了三维和四维中带有宇宙学常数的BF理论的一阶修正，结果与现有的状态和模型一致。

ABSTRACT

We propose a new systematic approach that allows one to derive the spin foam (state sum) model of a theory starting from the corresponding classical action functional. It can be applied to any theory whose action can be written as that of the BF theory plus a functional of the B field. Examples of such theories include BF theories with or without cosmological term, Yang-Mills theories and gravity in various spacetime dimensions. Our main idea is two-fold. First, we propose to take into account in the path integral certain distributional configurations of the B field in which it is concentrated along lower dimensional hypersurfaces in spacetime. Second, using the notion of generating functional we develop perturbation expansion techniques, with the role of the free theory played by the BF theory. We test our approach on various theories for which the corresponding spin foam (state sum) models are known. We find that it exactly reproduces the known models for BF and 2D Yang-Mills theories. For the BF theory with cosmological term in 3 and 4 dimensions we calculate the terms of the transition amplitude that are of the first order in the cosmological constant, and find an agreement with the corresponding first order terms of the known state sum models. We discuss implications of our results for existing quantum gravity models.

研究动机与目标

• 建立经典作用量原理与自旋泡沫状态和模型之间直接、系统性的联系。
• 解决已知自旋泡沫模型与其经典对应物之间缺乏精确、构造性联系的问题。
• 开发适用于2–4维时空中BF理论、杨-米尔斯理论和引力的框架。
• 在已知模型上测试该方法，并在微扰理论的一阶下验证其一致性。
• 探索基于自旋泡沫形式的量子引力模型的潜在影响。

提出的方法

• 该方法使用B场的分布配置路径积分，其仅在三角剖分时空流形中的二维多边形上非零。
• 在这些分布场之上评估经典作用量，导致对二维曲面积分的求和，从而有效离散化该理论。
• 围绕BF理论作为自由理论发展微扰理论，将附加作用量项视为微扰。
• 采用生成泛函形式，系统计算作为自旋泡沫求和的跃迁振幅。
• 该方法依赖于将作用量表达为与单纯形面相关的二阶张量，尤其在四维中使用自对偶和反自对偶部分。
• 四维单纯形的体积通过二阶张量的楔积表达，其中涉及自对偶部分，并带有1/30的归一化因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否推导出一种系统程序，直接从经典作用量泛函构造自旋泡沫模型？
• RQ2 集中在时空二维曲面上的分布B场配置如何影响路径积分并导致状态和模型？
• RQ3 所提出的方法是否能重现BF理论和二维杨-米尔斯理论的已知自旋泡沫模型？
• RQ4 带有宇宙学常数的BF理论在宇宙学常数展开中的一阶修正为何？其是否与已知的状态和模型一致？
• RQ5 该框架能否扩展至量子引力模型，特别是在四维中？

主要发现

• 该方法在任意维度下精确重现了已知的BF理论自旋泡沫模型。
• 该方法成功重现了二维杨-米尔斯理论的已知状态和模型。
• 对于三维和四维中带有宇宙学常数的BF理论，宇宙学常数的一阶修正与已知状态和模型中的对应项完全一致。
• 四维单纯形的体积通过其面所关联的二阶张量的自对偶部分正确表达，1/30的归一化因子用于补偿30对非邻接面的求和。
• 二阶张量之间的闭合关系（例如，E₀₁₂ + E₀₂₃ − E₀₁₃ − E₁₂₃ = 0）得到满足，确保与四维单纯形几何中几何约束的一致性。
• 二阶张量自对偶部分的模长等于对应面面积的平方，确认了该模型中二阶张量的几何解释。