[论文解读] Spin models and boson sampling

Borja Peropadre, Alán Aspuru‐Guzik+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文建立了玻色采样与具有长程XY相互作用的自旋模型在短时间量子演化之间的直接等价性，表明模拟此类自旋系统与求解玻色采样问题具有相同的计算难度。该映射使得在小型量子模拟器和量子计算机上高效实现玻色采样成为可能，误差可通过后选择和范数界进行分析，并通过变分距离分析确认了该问题的计算复杂性。

ABSTRACT

In this work we proof that boson sampling with $N$ particles in $M$ modes is equivalent to short-time evolution with $N$ excitations in an XY model of $2N$ spins. This mapping is efficient whenever the boson bunching probability is small, and errors can be efficiently postselected. This mapping opens the door to boson sampling with quantum simulators or general purpose quantum computers, and highlights the complexity of time-evolution with critical spin models, even for very short times.

研究动机与目标

• 建立玻色采样与具有长程XY相互作用的自旋哈密顿量时间演化之间的计算等价性。
• 在近期量子模拟器和小型量子计算机上实现高效且误差可控的玻色采样。
• 利用算子范数和变分距离分析映射中的误差，将其与稀释条件（N ≪ M）联系起来。
• 证明即使在实际物理约束下，玻色采样的复杂性在自旋模型中仍能保持。
• 通过两能级系统（量子比特）经由酉矩阵耦合的方式，提供玻色采样的物理实现，避免直接使用线性光学装置。

提出的方法

• 提出自旋哈密顿量 H = ∑_{i,j} σ⁺_{out,j} R_{ji} σ⁻_{in,i} + H.c.，其中 R 为哈密顿随机酉矩阵，用于模拟线性光学电路。
• 将具有 N 个光子在 M 个模式中的输入 Fock 态映射为具有 N 个激发输入自旋的初始自旋态。
• 证明在该哈密顿量下时间演化 t = π/2 时，可复现玻色采样波函数（至多相位和误差项）。
• 使用投影算符 Q 投影到每个格点最多一个激发的 Fock 态上，以分离出期望的输出分布。
• 通过差分态 δ = ψ - φ 的 2-范数分析误差，界定了输出分布之间的总变分距离。
• 利用随机矩阵理论和数值模拟估计 QH_BS P_{1bpair} 的平均算子范数，表明在哈密顿抽样下 ∥QH_BS P_{1bpair}∥₂ ∝ O(√N)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用具有长程XY相互作用的自旋系统实现玻色采样的物理实现？
• RQ2 玻色采样复杂性与多体自旋模型时间演化之间存在何种关系？
• RQ3 自旋模型映射中的误差如何随系统尺寸变化，能否被界定？
• RQ4 在实际条件下，自旋模型是否能保持玻色采样的计算困难性？
• RQ5 自旋模型与玻色采样输出分布之间的变分距离能否被定量界定？

主要发现

• 具有长程XY相互作用的自旋模型哈密顿量 H 在计算上等价于玻色采样，意味着两者均为 #P-难问题。
• 在 t = π/2 时，该自旋系统的演化可复现玻色采样波函数（至多相位），误差仅来自激发聚集。
• 自旋模型与玻色采样输出分布之间的总变分距离被界为 O(N² / √M)，当 M ≫ N² 时趋于零。
• 数值模拟确认算子范数 ∥QH_BS P_{1bpair}∥₂ 的标度为 O(√N)，从而将高效采样所需的 M 降低至 M ∼ O(N³)。
• 只要玻色采样高效，即当激发数 N 远小于模式数 M 时，该映射即成功。
• 通过两能级系统与酉耦合的物理实现，为在量子模拟器上实现玻色采样提供了可行路径，可能结合误差纠正。