[论文解读] Spin representations and centralizer algebras for the Spinor groups

Kazuhiko Koike|ArXiv.org|Feb 18, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过构造旋群 $\mathrm{Pin}(N)$ 在张量积 $\Delta \otimes \bigotimes^k V$ 上作用的中心化代数，建立了旋群版本的舒尔-外尔对偶性，其中 $\Delta$ 为旋表示，$V$ 为向量表示。文章引入了两种基——分别基于不变量理论与表示理论——并以广义布拉厄图参数化，确定了其变换矩阵，证明了对称群 $\mathfrak{S}_k$ 与 $\mathrm{Spin}(N)$ 在迹为零子空间 $T_{k,s}^{0,\pm}$ 上构成对偶对，从而实现不可约旋表示的无重数分解。

ABSTRACT

We pursue an analogy of the Schur-Weyl reciprocity for the spinor groups and pick up the irreducible spin representations in the tensor space $Δ extstyle{\bigotimes \bigotimes^k V}$. Here $Δ$ is the fundamental representation of $Pin(N)$ and $V$ is the natural (vector) representation of the orthogonal group O(N). We consider the centralizer algebra $\mathbf{CP_k} = Pin(N)(Δ extstyle{\bigotimes \bigotimes^k V})$ for $Pin(N)$, the double covering group of O(N) and define two kinds of linear basis in $\mathbf{CP_k}$ (one comes from invariant theory and the other from representation theory), both of which are parameterized by the 'generalized Brauer diagrams'. We develop analogous argument to the original Brauer centralizer algebra for O(N) and determine the transformation matrices between the above two basis and give the multiplication rules of those basis. Finally we define the subspaces in $Δ extstyle{\bigotimes \bigotimes^k V}$, on which the symmetric group $\frak{S}_k$ and $Pin(N)$ or $Spin(N)$ act as a dual pair.

研究动机与目标

• 为 $\mathrm{Pin}(N)$ 和 $\mathrm{Spin}(N)$ 开发舒尔-外尔对偶性的旋群版本。
• 定义并研究中心化代数 $\mathbf{CP}_k = \operatorname{End}_{\mathrm{Pin}(N)}(\Delta \otimes \bigotimes^k V)$。
• 利用不变量理论与表示理论，基于广义布拉厄图参数化，构造 $\mathbf{CP}_k$ 的两个不同基。
• 在子空间 $T_{k,s}^{0,\pm}$ 上识别出 $\mathfrak{S}_k$ 与 $\mathrm{Spin}(N)$ 作为对偶对作用，且实现无重数分解。

提出的方法

• 将广义布拉厄图定义为具有 $k$ 个上顶点与 $l$ 个下顶点的图，顶点间可连边（无环），允许孤立顶点存在。
• 为中心化代数 $\mathbf{CP}_k^l = \operatorname{Hom}_{\mathrm{Pin}(N)}(\Delta \otimes \bigotimes^k V, \Delta \otimes \bigotimes^l V)$ 构造两个基：一个来自不变量理论（记为 $d_{\text{inv}}$），一个来自表示理论（记为 $d_{\text{rt}}$）。
• 在定理 7.2 与定理 7.6 中显式建立两组基之间的变换矩阵。
• 在定理 8.1 中推导出基元素的乘法规则，从而可通过设定 $N = X$（形式变量）定义一个通用中心化代数。
• 将子空间 $T_{k,s}^0$ 定义为投影至 $\Delta$、收缩算子与阶数大于 $s$ 的交错算子的核的交集，推广经典迹为零张量空间的概念。
• 在 $\Delta \otimes \bigotimes^k V$ 上引入算子 $A \otimes \mathrm{id}$，并将空间分解为 $\pm 1$ 特征空间，从而定义 $T_{k,s}^{0,\pm}$，该子空间在 $A \otimes \mathrm{id}$ 下不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将正交群的舒尔-外尔对偶性推广至旋群如 $\mathrm{Pin}(N)$ 与 $\mathrm{Spin}(N)$？
• RQ2 中心化代数 $\mathbf{CP}_k = \operatorname{End}_{\mathrm{Pin}(N)}(\Delta \otimes \bigotimes^k V)$ 的结构是什么？其参数化方式如何？
• RQ3 从不变量理论与表示理论导出的两组基在 $\mathbf{CP}_k$ 内部有何关系？
• RQ4 在哪个子空间上 $\mathfrak{S}_k$ 与 $\mathrm{Spin}(N)$ 作为对偶对作用？该空间的分解形式如何？
• RQ5 算子 $A \otimes \mathrm{id}$ 在区分不可约旋表示及定义中心化代数的 $\pm$ 特征空间中起何作用？

主要发现

• 当 $N = 2n$ 或 $2n+1$ 且 $k, l \leq n$ 时，中心化代数 $\mathbf{CP}_k^l$ 拥有两个由广义布拉厄图参数化的基：一个来自不变量理论，一个来自表示理论。
• 定理 7.2 与定理 7.6 显式计算了两组基之间的变换矩阵，揭示了不变量理论元素与表示理论元素之间的精确线性关系。
• 定理 8.1 推导出基元素的乘法规则，使得通过设定 $N = X$（形式变量）可构造通用中心化代数。
• 子空间 $T_{k,s}^{0,\pm}$ 在 $A \otimes \mathrm{id}$ 下不变，且被 $\mathfrak{S}_k$ 与 $\mathrm{Spin}(N)$ 共同保持，构成每个分量上的对偶对。
• 子空间 $T_{k,s}^{0,\pm}$ 的分解为无重数：$T_{k,s}^{0,\pm} \cong \bigoplus_{\substack{\lambda \vdash k \\ \ell(\lambda) \leq s}} \lambda_{\mathfrak{S}_k} \otimes (1/2 + \lambda)^{\pm}_{\mathrm{Spin}(2n)}$，其中 $\lambda_{\mathfrak{S}_k}$ 为不可约 $\mathfrak{S}_k$-模，$(1/2 + \lambda)^{\pm}_{\mathrm{Spin}(2n)}$ 为不可约旋表示。
• 那些无法从 $O(2n)$ 或 $SO(2n)$ 提升而来的 $\mathrm{Spin}(2n)$ 不可约旋表示，可通过在 $T_{k,s}^{0,\pm}$ 上的对偶对作用，作为 $\Delta \otimes \bigotimes^k V$ 中杨对称子的像被实现。