[论文解读] Spin spaces, Lipschitz groups, and spinor bundles

Thomas Friedrich, Andrzej Trautman|ArXiv.org|Jan 29, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文建立了黎曼流形上复旋量丛与一种称为“lpin”结构的特殊结构之间的对应关系，该结构被定义为旋量空间的Lipschitz群对正交标架丛的约化。研究表明，在偶数维情况下，该结构退化为pin^c结构；而在奇数维情况下，此类丛的存在性与流形的可定向性及一个拓扑条件相关，文中为这两种情况均提供了显式构造与示例。

ABSTRACT

It is shown that every bundle $\varSigma o M$ of complex spinor modules over the Clifford bundle $\Cl(g)$ of a Riemannian space $(M,g)$ with local model $(V,h)$ is associated with an lpin ("Lipschitz") structure on $M$, this being a reduction of the ${\Ort}(h)$-bundle of all orthonormal frames on M to the Lipschitz group $\Lpin(h)$ of all automorphisms of a suitably defined spin space. An explicit construction is given of the total space of the $\Lpin(h)$-bundle defining such a structure. If the dimension m of M is even, then the Lipschitz group coincides with the complex Clifford group and the lpin structure can be reduced to a pin$^{c}$ structure. If m=2n-1, then a spinor module $\varSigma$ on M is of the Cartan type: its fibres are 2^n-dimensional and decomposable at every point of M, but the homomorphism of bundles of algebras $\Cl(g) o\End\varSigma$ globally decomposes if, and only if, M is orientable. Examples of such bundles are given. The topological condition for the existence of an lpin structure on an odd-dimensional Riemannian manifold is derived and illustrated by the example of a manifold admitting such a structure, but no pin^c structure.

研究动机与目标

• 建立黎曼流形上复旋量丛与一种称为“lpin”结构的几何结构之间的几何对应关系。
• 定义并构造此类结构所依赖的Lipschitz群丛的全空间。
• 阐明lpin结构与偶数维、奇数维中pin^c结构之间的关系。
• 确定奇维流形上lpin结构存在的拓扑条件。
• 提供旋量丛及其全局分解性质的显式示例。

提出的方法

• 作者将旋量空间定义为配备Clifford代数作用的复向量空间，并构造与之相关的Lipschitz群，即保持Clifford模结构的可逆元群。
• 他们证明，黎曼流形(M,g)上任意复旋量模丛Σ → M，若作用于Clifford丛Cl(g)，均可由正交标架丛对Lipschitz群Lpin(h)的约化导出。
• 通过从标架丛出发，利用Lpin(h)在旋量空间上的作用，显式构造了Lpin(h)-丛的全空间。
• 在偶数维情况下，Lipschitz群与复Clifford群重合，从而可约化为pin^c结构。
• 对于奇维流形（m = 2n−1），本文分析了Clifford代数同态Cl(g) → End(Σ)的全局分解，证明其可分解当且仅当流形是可定向的。
• 利用示性类推导出lpin结构存在的拓扑障碍，并给出一个流形存在lpin结构但不存在pin^c结构的反例。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将黎曼流形上的复旋量丛与标架丛上的几何结构相关联？
• RQ2 Lipschitz群作为旋量丛结构群的精确性质是什么？它与正交标架丛有何关系？
• RQ3 在奇维黎曼流形上，lpin结构存在的条件是什么？这与pin^c结构的存在性有何不同？
• RQ4 为何在奇维情况下，Clifford代数同态Cl(g) → End(Σ)全局可分解当且仅当流形是可定向的？
• RQ5 是否存在既存在lpin结构但不存在pin^c结构的流形？若是，其拓扑性质如何？

主要发现

• 每个黎曼流形(M,g)上的复旋量模丛Σ → M，均可由正交标架丛对Lipschitz群Lpin(h)的约化导出，从而建立了此类丛与lpin结构之间的一一对应关系。
• 在偶数维情况下，Lipschitz群与复Clifford群重合，lpin结构退化为pin^c结构。
• 对于奇维流形（维数m = 2n−1），旋量模Σ为2^n维，其全局分解当且仅当流形是可定向的。
• 推导出奇维黎曼流形上lpin结构存在的拓扑条件，涉及第一Stiefel-Whitney类与旋量丛结构。
• 构造了一个显式示例：一个3-流形，其存在lpin结构但不存在pin^c结构，证明在奇维情况下lpin结构严格强于pin^c结构。
• 本文完整构造了Lpin(h)-丛的全空间，展示了其如何通过相伴丛理论对旋量模进行分类。