[论文解读] Spin structures and codimension-two homeomorphism extensions

Fan Ding, Yi Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文建立了一个由欧氏空间中余维二嵌入诱导的拓扑不变量——自旋结构，该不变量限制了哪些流形的映射类可以延拓到周围空间。通过证明在 ℝ^{p+2} 中延拓的保向微分同胚保持了在 M 上诱导的自旋结构，作者推导出可延拓映射类子群的非平凡下界。关键结果表明，对于 ℝ⁴ 中的无纽结曲面以及 ℝ^{p+2} 中的某些环面，这些下界是精确的，其指标分别为 2^{2g−1} + 2^{g−1} 和 2^p − 1。

ABSTRACT

Let $\imath: M o \RR^{p+2}$ be a smooth embedding from a connected, oriented, closed $p$-dimesional smooth manifold to $\RR^{p+2}$, then there is a spin structure $\imath^\sharp(ς^{p+2})$ on $M$ canonically induced from the embedding. If an orientation-preserving diffeomorphism $τ$ of $M$ extends over $\imath$ as an orientation-preserving topological homeomorphism of $\RR^{p+2}$, then $τ$ preserves the induced spin structure. Let $\esg_\cat(\imath)$ be the subgroup of the $\cat$-mapping class group $\mcg_\cat(M)$ consisting of elements whose representatives extend over $\RR^{p+2}$ as orientation-preserving $\cat$-homeomorphisms, where $\cat= opo$, $\pl$ or $\diff$. The invariance of $\imath^\sharp(ς^{p+2})$ gives nontrivial lower bounds to $[\mcg_\cat(M):\esg_\cat(\imath)]$ in various special cases. We apply this to embedded surfaces in $\RR^4$ and embedded $p$-dimensional tori in $\RR^{p+2}$. In particular, in these cases the index lower bounds for $\esg_ opo(\imath)$ are achieved for unknotted embeddings.

研究动机与目标

• 理解闭合、定向、光滑的 p-流形的哪些映射类可以作为周围空间的同胚映射延拓到 ℝ^{p+2}。
• 识别阻碍此类延拓的拓扑不变量。
• 计算或界定可延拓映射类子群在完整映射类群中的指标。
• 证明对于无纽结嵌入，所导出的指标下界是精确的。

提出的方法

• 通过光滑嵌入 𝝳: M → ℝ^{p+2} 从 ℝ^{p+2} 上的标准自旋结构拉回，定义在 p-流形 M 上的典范自旋结构。
• 证明任何作为 ℝ^{p+2} 上拓扑同胚延拓的 M 的保向微分同胚，均保持 M 上诱导的自旋结构。
• 利用 M 上诱导的自旋结构是 ℝ^{p+2} 中一个塞伊弗特超曲面的自旋结构的边界这一事实，分析其拓扑不变性。
• 应用自旋结构的不变性，推导出 [MCG_C(M) : 𝔈_C(𝝳)] 的指标下界，其中 C = Top, PL, Diff。
• 利用关于曲面和环面的映射类群的已知结果，特别是扭结群和模群的结构，来计算或界定指标。
• 证明对于无纽结嵌入，下界可被实现，利用 Hirose 的构造以及自旋 bordism 和 Rokhlin 定理的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 闭合、定向、光滑的 p-流形的哪些映射类可以作为周围空间的保向同胚映射延拓到 ℝ^{p+2}？
• RQ2 如何利用余维二嵌入在流形上诱导的自旋结构来阻碍微分同胚的延拓？
• RQ3 对于 ℝ⁴ 中无纽结嵌入的曲面和 ℝ^{p+2} 中无纽结嵌入的环面，可延拓映射类子群的精确指标是多少？
• RQ4 从自旋结构不变性导出的下界是否可在特定嵌入下实现为精确值？
• RQ5 嵌入的选择（例如无纽结与有纽结）如何影响映射类的可延拓性？

主要发现

• 对于任意光滑嵌入到 ℝ⁴ 中的亏格为 g 的曲面 F_g，有 [MCG_Top(F_g) : 𝔈_Top(𝝳)] ≥ 2^{2g−1} + 2^{g−1}。
• 该下界对 ℝ⁴ 中 F_g 的无纽结嵌入是精确的，即在这些情况下指标恰好为 2^{2g−1} + 2^{g−1}。
• 对于任意光滑嵌入到 ℝ^{p+2} 中的 p-环面 T^p 且其诱导自旋结构非李群自旋结构时，有 [MCG_Top(T^p) : 𝔈_Top(𝝳)] ≥ 2^p − 1。
• 该界对 ℝ^{p+2} 中 T^p 的无纽结嵌入是可实现的，因此指标恰好为 2^p − 1。
• 从无纽结嵌入诱导的 T^p 上的自旋结构绝不是李群自旋结构，这对下界的成立至关重要。
• 当 p ≤ 3 时，对于 C = Diff, PL 或 Top，有 [MCG_C(T^p) : 𝔈_C(𝝳)] = 2^p − 1，且对所有 p 该指标均为有限。