[论文解读] Spinning particles in a Yang-Mills field

Simon Hochgerner|ArXiv.org|Feb 3, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文提出了一种最小耦合框架，用于在共轭轨道层面上构造具有适当李群作用的流形的余切丛的辛商，特别是在配置空间为单轨道类型时。研究表明，约化相空间微分同构于一个涉及更小余切丛、在韦尔群作用下于零点处的共轭轨道的辛商的结构，并通过联络提供了一种计算上有效的构造方法，该方法在分层哈密顿系统和杨-米尔斯场中自旋粒子的应用中具有重要意义。

ABSTRACT

Suppose that a Lie group $G$ acts properly on a configuration manifold $Q$. We study the symplectic quotient of $T^*Q$ with respect to the cotangent lifted $G$-action at an arbitrary coadjoint orbit level $\mathcal{O}$. In particular, if $Q=Q_{(H)}$ is of single orbit type we show that the symplectic quotient of $T^*Q$ at $\mathcal{O}$ can be constructed through a minimal coupling procedure involving the smaller cotangent bundle $T^*Q_H$, the symplectic quotient of $\mathcal{O}$ at 0 with respect to the $H$-action, and the diagonal Hamiltonian $N(H)/H$-action on these symplectic spaces. A prescribed connection on $Q_H o Q_H/(N(H)/H)$ then yields a computationally effective way of explicitly realizing the symplectic structure on each stratum of the symplectic quotient of $T^*Q$. In an example this result is combined with the projection method to produce a stratified Hamiltonian system with very well hidden symmetries.

研究动机与目标

• 将辛约化的轨道丛图象推广至配置流形上非自由群作用的情形。
• 解决当 $ Q $ 为单轨道类型且作用为适当但不一定是自由作用时，$ T^*Q \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_\mathcal{O} G $ 的几何结构问题。
• 利用主丛联络，显式构造约化相空间各层上的辛结构，实现计算上的有效性。
• 展示如何通过该构造揭示哈密顿系统中的隐藏对称性，特别是在杨-米尔斯场和自旋粒子的背景下。

提出的方法

• 本文通过动量映射 $ \mu: T^*Q \to \mathfrak{g}^* $ 进行奇异辛约化，聚焦于在共轭轨道 $ \mathcal{O} \subset \mathfrak{g}^* $ 上的约化。
• 构造约化空间为辛商 $ (T^*Q_H \times \mathcal{O} \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_0 H) \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_0 W $，其中 $ W = N(H)/H $，利用韦尔群在零点处共轭轨道的辛商上的作用。
• 通过在主丛 $ Q_H \to Q_H/W $ 上指定的联络，实现最小耦合过程，从而在每一层上显式实现辛结构。
• 该方法应用投影法构造具有隐藏对称性的分层哈密顿系统，特别是在 $ G = \mathrm{SO}(4) $，$ H_0 = \mathrm{U}(1) $，$ W_0 = \mathbb{Z}_2 $ 的情形下。
• 约化哈密顿量被导出为 $ \mathcal{H}_0 = \frac{1}{2}\|p_0\|^2 + V(q_0, X) $，其中 $ V(q_0, X) $ 通过矩阵 $ K[X]_\sim $ 依赖于度量和磁场。
• 在正则层上，辛结构由最小耦合形式描述，动力学表现出类似简谐振子的运动以及带电粒子在磁场中的洛伦兹型方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当群作用适当但不自由且 $ Q $ 为单轨道类型时，如何显式构造辛商 $ T^*Q \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_\mathcal{O} G $？
• RQ2 韦尔群 $ W = N(H)/H $ 在 $ T^*Q $ 沿共轭轨道 $ \mathcal{O} $ 的辛约化中起什么作用？它如何作用于约化相空间？
• RQ3 主丛 $ Q_H \to Q_H/W $ 上的联络如何实现最小耦合构造，从而使辛结构在计算上可访问？
• RQ4 由此产生的约化系统是否能揭示哈密顿系统中的隐藏对称性，特别是在自旋粒子在杨-米尔斯场中的情形？
• RQ5 在约化相空间的不同层上，特别是非退化的磁耦合情形下，会涌现出何种动力学行为？

主要发现

• 辛商 $ T^*Q \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_\mathcal{O} G $ 微分同构于辛商 $ (T^*Q_H \times \mathcal{O} \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_0 H) \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_0 W $，为约化相空间提供了几何分解。
• 约化空间的光滑辛层通过 $ W $ 作用于 $ T^*Q_H \times \mathcal{O} \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\textstyle/\!\!\! /}}_0 H $ 上的诱导作用计算得出，从而可在每一层上显式构造辛结构。
• 在 $ z \neq 0 $ 的正则层上，约化哈密顿量描述了一个简谐振子，其频率由矩阵 $ K[X]_\sim $ 的特征值决定，表明束缚带电粒子运动中存在内禀自由度。
• 在奇异层 $ (x,y,z) = (0,0,\pm s) $ 上，动力学退化为有效电荷为 $ \pm s $ 的洛伦兹方程，导致在磁场 $ 2\nu $ 作用下沿具有恒定测地曲率 $ \pm 2s $ 的小圆运动。
• 在边界 $ B_0 \sqcup B_1 $ 处系统表现出类似反射的行为，解满足斯涅尔定律，表明带电粒子因与磁场的最小耦合而发生偏转。
• 最小耦合形式 (6.D) 显式实现了正则层上的辛结构，且约化系统等价于 $ T^*B_0 $ 上的自由哈密顿系统与 $ \mathbb{Z}_2 $-规范电荷 $ \pm s $ 的耦合，揭示了动力学中的隐藏对称性。