[论文解读] Spinor fields in Causal Set Theory

Roman Sverdlov|ArXiv.org|Aug 21, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文提出了一种在因果集量子引力中定义旋量场的框架，通过用联络代替 vierbeins，并利用带符号测度与混合交换/反对交换代数结构来强制实现 Grassmann 统计。其主要贡献在于：在不依赖连续流形或正交 tetrad 场的前提下，以坐标无关、离散的方式表述了保持 Lorentz 不变性与费米统计的旋量场。

ABSTRACT

The goal of this paper is to define fermionic fields on causal set. This is done by the use of holonomies to define vierbines, and then defining spinor fields by taking advantage of the leftover degrees of freedom of holonomies plus additional scalar fields. Grassmann nature is being enforced by allowing measure to take both positive and negative values, and also by introducing a vector space to have both commutting dot product and anticommutting wedge product.

研究动机与目标

• 在离散、因果集时空框架中定义费米子量子场，同时保持 Lorentz 不变性与 Grassmann 统计。
• 克服在不依赖连续时空坐标或正交 tetrad 场的前提下定义旋量场的挑战。
• 将参考文献 [1] 中连续模型的费米子推广至因果集设定，使用联络作为向量场的离散类比。
• 确保所得到的场论既尊重集合的因果结构，又符合费米子自由度的反对交换性质。

提出的方法

• 每事件使用四个联络代替 vierbeins，将其视为编码局部 Lorentz 结构的向量场离散类比。
• 定义一个同时具备交换点积与反对交换楔积的向量空间，以代数方式建模 Grassmann 数。
• 引入具有正负值的带符号测度，以强制实现 Grassmann 积分规则，确保正确的费米统计。
• 对由联络导出的向量场使用类似 Gram-Schmidt 的过程，构造正交标架，旋量场由此通过旋转操作定义。
• 将旋量场构造为正交标架中标量场的旋转叠加，使用涉及旋量生成元与联络导出的连接信息的指数映射。
• 通过确保联络约束反映因果集的偏序关系，同时通过测度允许非流形类配置，以保证与因果结构的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖连续几何的前提下，于离散、坐标无关的因果集时空中一致地定义费米子场？
• RQ2 在场未定义于流形上的离散设定中，何种代数结构可强制实现 Grassmann 统计？
• RQ3 联络能否作为定义旋量场局部 Lorentz 标架的 vierbeins 离散替代？
• RQ4 如何修改路径积分中的测度，使其支持正负值，同时保持 Grassmann 积分规则？
• RQ5 是否可能定义旋量场，使其动力学独立于正交标架的选择，同时仍尊重集合的因果结构？

主要发现

• 本文成功构建了基于联络作为基本构建块的因果集理论中旋量场的离散、坐标无关表述，用于编码局部 Lorentz 结构。
• 通过带符号测度与结合交换与反对交换积的混合代数结构，强制实现了 Grassmann 统计，从而支持正确的费米子积分。
• 该方法允许在不依赖底层向量场正交性的情况下定义旋量场，从而将 vierbein 概念推广至更灵活的场论框架。
• 通过离散 Gram-Schmidt 过程从联络导出 vierbeins，避免将 vierbeins 视为独立场，从而减少了对场动力学的约束。
• 选项 2——即费米子自由度嵌入联络到旋量映射中——尽管失去了对流形类结构的解释能力，但更符合因果集框架，因而更具一致性。
• 该框架保持了 Lorentz 不变性，并可定义与固定因果集背景上量子场论兼容的旋量场拉格朗日量。