[论文解读] Spinor modules for Hamiltonian loop group spaces

Yiannis Loizides, Eckhard Meinrenken+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文通过将恰当的哈密顿环李群空间 $\mathcal{M}$ 的切丛 canonically 完成为强辛 $LG$-等变丛，并在其上赋予极化类内 $LG$-不变的相容复结构，构造了其 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构。由此产生的旋量模 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ 可通过两种方法实现有限维约化：一种是通过阿贝尔化约化至 $T$-不变子流形，另一种是通过拟哈密顿 $G$-空间对应关系进行扭变，从而在有限维商空间上得到等变 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构。

ABSTRACT

Let $LG$ be the loop group of a compact, connected Lie group $G$. We show that the tangent bundle of any proper Hamiltonian $LG$-space $\mathcal{M}$ has a natural completion $\overline{T}\mathcal{M}$ to a strongly symplectic $LG$-equivariant vector bundle. This bundle admits an invariant compatible complex structure within a natural polarization class, defining an $LG$-equivariant spinor bundle $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$, which one may regard as the Spin$_c$-structure of $\mathcal{M}$. We describe two procedures for obtaining a finite-dimensional version of this spinor module. In one approach, we construct from $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ a twisted Spin$_c$-structure for the quasi-Hamiltonian $G$-space associated to $\mathcal{M}$. In the second approach, we describe an `abelianization procedure', passing to a finite-dimensional $T\subset LG$-invariant submanifold of $\mathcal{M}$, and we show how to construct an equivariant Spin$_c$-structure on that submanifold.

研究动机与目标

• 为恰当的哈密顿环李群空间 $\mathcal{M}$ 构造一个 $LG$-等变的 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构，尽管其切丛具有无限维且弱辛的性质。
• 通过构造一个完成丛 $\overline{T}\mathcal{M}$ 来克服 $T\mathcal{M}$ 缺乏强辛结构的问题，使得 $\overline{T}\mathcal{M}$ 允许一个强辛 2-形式和一个 $LG$-不变的相容复结构。
• 通过两种不同的几何约化程序：阿贝尔化与拟哈密顿约化，提供无限维旋量模 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ 的有限维类比。
• 利用对应空间的旋量模，为与 $\mathcal{M}$ 关联的有限维拟哈密顿 $G$-空间 $M$ 建立一个扭变 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构。

提出的方法

• 通过轨道方向上的 Sobolev $\frac{1}{2}$-完成，将恰当哈密顿 $LG$-空间 $\mathcal{M}$ 的切丛 $T\mathcal{M}$ 完成为 $\overline{T}\mathcal{M}$，从而得到一个强辛的 $LG$-等变向量丛。
• 在特定极化类内构造一个 $LG$-不变的相容复结构 $J$ 于 $\overline{T}\mathcal{M}$ 上，其唯一性在同伦意义下成立，从而确保定义良好的 $\mathbb{Z}_2$-分次旋量丛 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$。
• 将旋量模 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ 拉回到对应空间 $\mathcal{N}$，该空间配备自由的 $LG \times G$-作用，其商为 $\mathcal{M}$ 和 $M$，从而可通过 $LG$-作用实现约化。
• 利用旋量中心扩张 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}}$，通过 Kac-Peterson 余上同调构造 $q^*TM$ 上的 $LG$-等变 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构，其中中心扩张通过非平凡作用实现。
• 该构造在有限维拟哈密顿 $G$-空间 $M$ 上产生一个扭变 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构，其关联旋量模为 $\mathsf{S}_{q^*TM}$，在等变同伦意义下是唯一的。
• 阿贝尔化程序构造了一个 $LG$-不变的 $T$-子流形 $\mathcal{M}_T \subset \mathcal{M}$，并通过限制旋量模在 $\mathcal{M}_T$ 上构建等变 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对恰当哈密顿环李群空间的切丛进行典范完成，以得到一个强辛的 $LG$-等变丛？
• RQ2 极化类在选择完成切丛上 $LG$-不变相容复结构时起什么作用？
• RQ3 如何将无限维旋量模 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ 约化为 $M$ 或 $\mathcal{M}_T$ 上的有限维 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构？
• RQ4 旋量中心扩张 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}}$ 在构造 $M$ 上扭变 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构时的几何与拓扑意义为何？

主要发现

• 任何恰当哈密顿 $LG$-空间 $\mathcal{M}$ 的切丛 $T\mathcal{M}$ 都存在一个 $LG$-等变的典范完成 $\overline{T}\mathcal{M}$，使得辛形式 $\omega$ 可延拓为 $\overline{T\mathcal{M}}$ 上的强辛 2-形式。
• 完成丛 $\overline{T}\mathcal{M}$ 在特定极化类内携带一个唯一的 $LG$-不变相容复结构 $J$（在同伦意义下），从而可构造出 $\mathbb{Z}_2$-分次旋量丛 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$。
• 旋量模 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ 定义了 $\mathcal{M}$ 上的 $LG$-等变 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构，这是有限维情形下 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构的自然无限维类比。
• 通过对应空间 $\mathcal{N}$，旋量模 $\mathsf{S}_{\overline{T}\mathcal{M}}$ 诱导出 $q^*TM$ 上的 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}} \times G$-等变 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构，其关联旋量模为 $\mathsf{S}_{q^*TM}$，在等变同伦意义下是唯一的。
• 阿贝尔化程序产生一个有限维的 $T$-不变子流形 $\mathcal{M}_T \subset \mathcal{M}$，其上通过旋量模的限制构造出等变 $\operatorname{Spin}_{c}$-结构。
• 中心扩张 $\widehat{LG}^{\operatorname{spin}}$ 在对偶卡塞尔数 $\mathsf{h}^\vee$ 的水平上实现，Kac-Peterson 余上同调 $\psi_{KP}$ 通过 $\psi_{KP}(\xi,\zeta) = 2\pi\mathsf{i}\,\mathsf{h}^\vee \int_{S^1} B^{\operatorname{basic}}(d\xi, \zeta)$ 编码中心作用。