[论文解读] Spinorial Snyder and Yang Models From Superalgebras And Noncommutative Quantum Superspaces

J. Lukierski, Mariusz Woronowicz|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2021

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文通过使用超代数，将Snyder和Yang的非交换（NC）相对论性量子时空与相空间模型扩展至超对称设置。通过将Snyder化程序应用于诸如$\widehat{su^\star}(4,2)$和$\widehat{su^\star}(4)$的超代数，作者构建了洛伦兹协变的量子超时空（SUSY Snyder模型）与量子相空间超时空（SUSY Yang模型），其中旋量型超荷成为基本的量子变形费米子变量。主要贡献在于系统性地构造具有内在旋量结构和霍普夫代数余代数性质的NC量子超时空。

ABSTRACT

The relativistic Lorentz-covariant quantum space-times obtained by Snyder can be described by the coset generators of (anti) de-Sitter algebras. Similarly, the Lorentz-covariant quantum phase spaces introduced by Yang, which contain additionally quantum curved fourmomenta and quantum-deformed relativistic Heisenberg algebra, can be defined by suitably chosen coset generators of conformal algebras. We extend such algebraic construction to the respective superalgebras, which provide quantum Lorentz-covariant superspaces (SUSY Snyder model) and indicate also how to obtain the quantum relativistic phase superspaces (SUSY Yang model). In last Section we recall briefly other ways of deriving quantum phase (super)spaces and we compare the spinorial Snyder type models defining bosonic or fermionic quantum-deformed spinors.

研究动机与目标

• 将Snyder和Yang最初提出的非交换（NC）量子时空与相空间模型扩展至超对称框架。
• 通过具有与$\widehat{o}(4,1)$、$\widehat{o}(3,2)$、$\widehat{o}(5,1)$和$\widehat{o}(4,2)$同构的玻色子子代数的超代数的共轭生成元，构建洛伦兹协变的量子超时空（SUSY Snyder模型）。
• 通过将量子海森堡代数的形变嵌入共形超代数，推导出量子变形的相对论性相空间超时空（SUSY Yang模型）。
• 证明在半单超代数中，费米子型超荷自然成为主量子变形旋量，构成泛包络代数的代数基础。

提出的方法

• 采用Snyder化程序：将超代数$\widehat{g} = \widehat{k} \oplus \widehat{h}$分解为对称对，其中$\widehat{k}$生成量子（超）时空坐标。
• 对$\widehat{su^\star}(4,2)$和$\widehat{su^\star}(4)$等李超代数应用共轭构造$G/H$，其中$H$为协变性代数，$\widehat{k}$为量子时空生成器部分。
• 使用分次对易子$[\cdot, \cdot\}$定义超代数关系，确保所得量子（超）代数的雅可比恒等式与结合性。
• 利用Weyl技巧将$SU(4;2N)$超代数与$SU^\star(4;2N)$关联，通过复共轭与相位旋转实现$\widehat{o}(5,1)$与$\widehat{o}(4,2)$的构造。
• 对超荷$z^a_\alpha, u^b_\beta$进行Snyder化，得到量子旋量$\chi^a_\alpha, \rho^b_\beta$，其在旋量覆盖群下变换。
• 施加四元数辛马约拉条件以减少自由度，并确保旋量部分的物理一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过超代数将Snyder与Yang的非交换量子时空与相空间模型扩展至超对称设置？
• RQ2 在半单李超代数中，超荷在生成量子变形旋量坐标方面起什么作用？
• RQ3 所得到的量子超时空如何继承底层李超代数的代数与余代数结构？
• RQ4 量子变形海森堡代数能否以保持洛伦兹协变性与雅可比恒等式的方式实现超对称化？
• RQ5 dS与AdS超代数的局部规范对称性对超引力中胶子场的出现有何影响？

主要发现

• SUSY Snyder模型通过$\widehat{su^\star}(4,2)$的共轭生成元构建，得到具有$\widehat{o}(3,1)$洛伦兹协变性的D=4量子de Sitter超时空与量子变形旋量。
• SUSY Yang模型源自$\widehat{su^\star}(4,2)$，其中嵌入了量子变形海森堡代数，使$\widehat{x}^\mu$与$\widehat{p}^\mu$均作为非交换相空间算符。
• 在半单超代数$\widehat{su^\star}(4,2)$中，费米子型超荷成为泛包络代数的主生成元，构成量子超时空的代数基础。
• 量子超时空继承了来自底层霍普夫超代数的结合性（通过雅可比恒等式）与余代数结构（通过本质量对角映射）。
• 通过辛马约拉条件使用四元数旋量可减少独立自由度，确保与物理旋量表示的一致性。
• 对$\widehat{su^\star}(4;2)$超代数进行局部规范处理，导致D=5 de Sitter超引力中出现胶子场，提示需通过自发对称性破缺来避免其出现。