[论文解读] Spinors in Higher Dimensional and Locally Anisotropic Spaces

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 1996

Advanced Differential Geometry Research参考文献 11被引用 21

一句话总结

本文通过扩展彭罗斯的抽象指标形式化方法，建立了局部各向异性（la）空间中旋量的严格微分几何——一种具有非线性及 distinguished（d-）联络与度量结构的广义向量丛——提出了d-旋量联络、曲率与挠率，并建立了其与d-张量形式化的关系，推导出在一般la-空间上引力场与物质场的动力学方程，从而实现了在非黎曼背景下的场论一致性，具有在量子引力与高维物理中的潜在应用。

ABSTRACT

The theory of spinors is developed for locally anisotropic (la) spaces, in brief la-spaces, which in general are modeled as vector bundles provided with nonlinear and distinguished connections and metric structures (such la-spaces contain as particular cases the Lagrange, Finsler and, for trivial nonlinear connections, Kaluza-Klein spaces). The la-spinor differential geometry is constructed. The distinguished spinor connections are studied and compared with similar ones on la-spaces. We derive the la-spinor expressions of curvatures and torsions and analyze the conditions when the distinguished torsion and nonmetricity tensors can be generated from distinguished spinor connections. The dynamical equations for gravitational and matter field la-interactions are formulated.

研究动机与目标

• 在广义芬斯勒、拉格朗日及卡鲁扎-克莱因空间的局部各向异性（la）空间中，建立旋量场的一致几何框架。
• 通过引入与非线性及d-联络相容的 distinguished（d-）旋量结构，解决长期存在的在la-空间中定义旋量的问题。
• 提出d-旋量联络、曲率与挠率，并将其与d-张量形式化关联，以实现在la-空间中的一致场论。
• 利用d-协变微分法，推导出在一般la-空间上引力场与物质场（标量、普罗卡、狄拉克、规范场）的协变动力学方程。
• 通过提供局部各向异性场相互作用的几何基础，使在量子引力、弦理论与宇宙学中实现物理应用成为可能。

提出的方法

• 采用并扩展彭罗斯与辛德勒的抽象指标形式化方法，将la-空间中的d-张量与d-旋量分解为水平与垂直分量。
• 在配备非线性（N-）联络与d-度量的向量丛上构造d-旋量联络，确保其与d-联络及度量结构相容。
• 推导出d-旋量曲率与挠率的表达式，并分析在何种条件下非度量性与挠率可由d-旋量联络产生。
• 利用d-协变变分法，推导出在非完整（不可积）la-标架下物质场与规范场的场方程。
• 通过d-标架形式化中的标准变分程序，构建能量-动量d-张量与d-矢量流。
• 考虑共形不变性与近似测地线映射作为特定类la-空间中d-旋量微分法的扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有非线性与distinguished（d-）联络的局部各向异性空间中严格定义旋量结构，这些空间广义化了芬斯勒与卡鲁扎-克莱因几何？
• RQ2 distinguished旋量联络的几何性质是什么？它们如何与d-张量曲率、挠率及非度量性相关联？
• RQ3 在la-空间中，d-挠率与非度量性张量在何种条件下可由d-旋量联络生成？
• RQ4 如何利用d-协变形式化在一般la-空间上推导出引力场与物质场的一致动力学方程？
• RQ5 d-旋量微分法在量子引力与弦理论中，对高维与局部各向异性背景上的物理理论起何作用？

主要发现

• 为局部各向异性空间构建了一致的d-旋量微分几何，将彭罗斯的二重旋量微分法推广至高维非黎曼背景。
• 定义了distinguished旋量联络，并证明其在特定几何条件下可生成d-挠率与非度量性张量，为这些结构提供了几何起源。
• d-旋量形式化在水平与垂直子空间维度上表现出八重周期性，类似于标准克利福德代数中的周期性。
• 通过d-协变变分法推导出标量、普罗卡、狄拉克与规范场的动力学场方程，能量-动量d-张量与d-流在d-标架形式化中得以表达。
• 该框架仅在la-空间的受限类别中支持共形不变性，需通过扩展至近似测地线映射以实现更广泛适用性。
• 该形式化为在一般la-空间上构建物理模型提供了几何基础，具有在量子引力、高维场论及超弦模型中的潜在应用。