[论文解读] Splice Graphs and Their Topological Indices

Reza Sharafdini, İvan Gutman|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Graph theory and applications参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文推导出通过将两个不相交图中的两个顶点识别而成的拼接图上五种拓扑指数——Szeged、边-Szeged、顶点-PI、边-PI 和偏心连通性——的精确公式。该方法利用结构分解与基于距离的划分，得到闭式表达式，将原图的指数与基于边和顶点数量及偏心率的修正项相结合。

ABSTRACT

Let $G_1=(V_1,E_1)$ and $G_2=(V_2,E_2)$ be two graphs with disjoint vertex sets $V_1$ and $V_2$. Let $u_1 \in V_1$ and $u_2 \in V_2$. A splice of $G_1$ and $G_2$ by vertices $u_1$ and $u_2$, $\mathcal{S}(G_1,G_2;u_1,u_2)$, is defined by identifying the vertices $u_1$ and $u_2$ in the union of $G_1$ and $G_2$. In this paper we calculate the Szeged, edge-Szeged, $PI$, vertex-$PI$ and eccentric connectivity indices of splice graphs.

研究动机与目标

• 计算通过将两个不相交图中的两个顶点识别而成的拼接图的 Szeged、边-Szeged、顶点-PI、边-PI 和偏心连通性指数。
• 通过为这类特定复合图类提供这些指数的闭式表达式，扩展图论中拓扑指数的现有结果。
• 建立一种系统化方法，用于计算具有连接两个子图的中心顶点的图的拓扑指数，该方法在化学图论中具有相关性。
• 阐明每个子图及连接顶点对整体指数值的贡献，从而实现对结构-描述符关系的精确预测。

提出的方法

• 将拼接图 𝒮(G₁,G₂;u₁,u₂) 定义为两个不相交图 G₁ 和 G₂ 的并集，其中顶点 u₁ 和 u₂ 被识别为单个顶点。
• 引入基于距离的划分：对每条边 e=xy，定义集合 N(e,u,G) 和 M(e,u,G)，分别用于计算比 v 更接近 u 的顶点数和边数。
• 使用拓扑指数的标准定义：Szeged（nᵤ(e)nᵥ(e) 的和）、边-Szeged（mᵤ(e)mᵥ(e) 的和）、顶点-PI（nᵤ(e)+nᵥ(e) 的和）、边-PI（mᵤ(e)+mᵥ(e) 的和）以及偏心连通性（deg(u)·ε(u) 的和）。
• 将指数计算分解为来自 G₁ 内部的边、G₂ 内部的边以及通过拼接顶点的边的贡献。
• 基于对侧图的大小推导修正项：G₁ 中的边使用 |E₂|，G₂ 中的边使用 |E₁|，顶点贡献则使用 |V₂| 或 |V₁|。
• 应用偏心率公式 ε(x) = max{d_G₁(x,u₁)+ε₂(u₂), ε₁(x)}（当 x ∈ V₁ 时），以及对 x ∈ V₂ 的类似表达式，以计算偏心连通性指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单个顶点处对两个图进行拼接操作时，Szeged 和边-Szeged 指数的行为如何？
• RQ2 在拼接图中，每个子图及连接顶点对顶点-PI 和边-PI 指数的贡献是什么？
• RQ3 拼接图中顶点的偏心率如何依赖于其在原始子图中的位置以及连接顶点的偏心率？
• RQ4 拼接图的拓扑指数能否表示为原图指数之和加上修正项？
• RQ5 这五种拓扑指数在拼接图上的精确公式是什么？它们如何依赖于边和顶点数量以及偏心率等结构参数？

主要发现

• 拼接图的 Szeged 指数为 Sz(𝒮) = Sz(G₁) + Sz(G₂)，无修正项，因为每个子图内部的边划分保持不变。
• 边-Szeged 指数满足 Szₑ(𝒮) = Szₑ(G₁) + Szₑ(G₂) + |E₂|∑_{f∈E₁} m¹(f) + |E₁|∑_{f∈E₂} m²(f)，其中修正项用于表示一个子图中的边相对于另一个子图的贡献。
• 顶点-PI 指数为 PIᵥ(𝒮) = PIᵥ(G₁) + PIᵥ(G₂) + (t₂+1)|V₁| + (t₁+1)|V₂|，其中 tᵢ 是 Gᵢ 中端点到连接顶点距离相等的边数。
• 边-PI 指数为 PI(𝒮) = PI(G₁) + PI(G₂) + t₂|E₁| + t₁|E₂|，其中修正项与这类等距边的数量成正比。
• 偏心连通性指数为 Ecc(𝒮) = Σ_{x∈V₁} deg𝒮(x)·max{d_G₁(x,u₁)+ε₂(u₂), ε₁(x)} + Σ_{y∈V₂} deg𝒮(y)·max{d_G₂(y,u₂)+ε₁(u₁), ε₂(y)}。
• 所有指数在子图之间均具有可加性，修正项依赖于对侧组件的大小和偏心率结构，从而可基于基图不变量实现精确计算。