[论文解读] Split Domination, Independence, and Irredundance in Graphs

Stephen T. Hedetniemi, Fiona Knoll+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过将支配理论与图连通性相结合，引入并分析了图中的分裂支配、分裂独立性和分裂非冗余性。定义了新的参数，如分裂支配数 γₛ(G) 和分裂独立数 iₛ(G)，建立了类似于经典支配不等式链的分裂支配链，并证明了连通性 k(G) 是所有分裂参数的下界。主要贡献在于形式化并分析了这些分裂变体，对路径、环和完全二分图等图类得出了精确值。

ABSTRACT

In 1978, Kulli and Janakiram \citep{KulliJanakiramSplit} defined the split dominating set: a dominating set $S$ of vertices in a graph $G = (V, E)$ is called {\em split dominating} if the induced subgraph $\langle V \setminus S angle$ is either disconnected or a $K_1$. In this paper we introduce the properties split independence and split irredundance. A set $S$ of vertices in a graph $G =(V,E)$ is called a {\em split independent set} if $S$ is independent and the induced subgraph $\langle V \setminus S angle$ is either disconnected or a $K_1$. A set $S$ of vertices in a graph $G = (V,E)$ is called a {\em split irredundant set} if for $u \in S$, $u$ has a private neighbor with respect to $V(S)$ and the induced subgraph $\langle V \setminus S angle$ is either disconnected or a $K_1$.

研究动机与目标

• 形式化并研究分裂独立性和分裂非冗余性作为经典支配理论的扩展。
• 研究图的连通性，特别是顶点连通性 k(G)，对支配相关参数的影响。
• 建立一个类似于经典支配链的分裂参数不等式链。
• 推导出路径、环和完全二分图等特定图类中分裂参数的精确值和界。
• 探讨分裂与非分裂版本的支配、独立性和非冗余性之间的关系。

提出的方法

• 引入分裂独立集的概念：一个独立集 S，使得 V⧵S 诱导的子图是不连通的或仅包含一个顶点。
• 将分裂非冗余集定义为：每个顶点都有一个私有邻居，且 V⧵S 诱导的子图是不连通或平凡的图。
• 提出新的图参数：分裂支配数 γₛ(G)、分裂独立数 iₛ(G)、分裂非冗余数 irₛ(G)，及其上界对应参数。
• 建立分裂支配不等式链：irₛ(G) ≤ γₛ(G) ≤ iₛ(G) ≤ βₛ(G) ≤ Γₛ(G) ≤ IRₛ(G)，该链与经典支配链类似。
• 通过结构图分析和对标准图类（路径、环、轮图、完全二分图）的分情况评估，计算出精确值。
• 证明顶点连通性 k(G) 是所有分裂参数的下界：k(G) ≤ irₛ(G)，k(G) ≤ γₛ(G)，k(G) ≤ iₛ(G)。

实验结果

研究问题

• RQ1 分裂独立集在图中具有怎样的结构和参数性质？
• RQ2 分裂非冗余集与标准非冗余集有何不同？其极值参数是什么？
• RQ3 能否建立经典支配不等式链的分裂版本？其结构如何？
• RQ4 路径和环等标准图类中，分裂支配、独立性和非冗余参数的精确值是什么？
• RQ5 分裂参数与非分裂参数以及经典支配参数之间有何关系？

主要发现

• 分裂支配数 γₛ(G) 满足 γ(G) ≤ γₛ(G) 且 k(G) ≤ γₛ(G)，对于阶为 n 的图，有 γₛ(G) ≤ n·Δ(G)/(Δ(G)+1)。
• 对于路径 Pₙ，有 irₛ(G) = γₛ(G) = iₛ(G) = ⌈n/3⌉，且 βₛ(G) = Γₛ(G) = IRₛ(G) = ⌈n/2⌉。
• 对于环 Cₙ，有 irₛ(G) = γₛ(G) = iₛ(G) = ⌈n/3⌉，且 βₛ(G) = Γₛ(G) = IRₛ(G) = ⌊n/2⌋。
• 顶点连通性 k(G) 是所有分裂参数的下界：k(G) ≤ irₛ(G)，k(G) ≤ γₛ(G)，且 k(G) ≤ iₛ(G)。
• 对于完全二分图 Kₘ,ₙ（其中 2 ≤ m ≤ n），有 iₙₛ(Kₘ,ₙ) = m−1 且 βₙₛ(Kₘ,ₙ) = n−1。
• 对于轮图 Wₙ，有 γₙₛ(Wₙ) = 1 且 iₙₛ(Wₙ) = 1，而 IRₙₛ(Wₙ) = IR(Cₙ)，表明其强烈依赖于环部结构。