[论文解读] Split Property and Fermionic String Order

Taku Matsui|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 7被引用 6

一句话总结

该论文通过CAR代数和Jordan-Wigner变换，建立了在一维费米子系统中，能隙基态的分裂性质，并阐明了费米子自旋序的数学基础。证明了基态的${\bf Z}_2$指标决定了自旋序的存在与否：指标$+1$表示无自旋序且为纯泡利自旋基态，而指标$-1$表示存在自旋序且为非纯、简并的基态，从而将拓扑不变量与长程量子关联联系起来。

ABSTRACT

We show split property of gapped ground states for Fermion systems on a one-dimensional lattice and clarify mathematical meaning of string order of fermions.

研究动机与目标

• 建立由CAR代数描述的一维费米子系统中能隙基态的分裂性质。
• 阐明准一维费米子系统中自旋序的数学意义。
• 通过Jordan-Wigner变换，将基态的${\bf Z}_2$指标与自旋序的存在或缺失联系起来。
• 证明分裂性质意味着存在辅助空间为无限维的矩阵乘积态表示，且对称性得以保持。

提出的方法

• 分析在可分希尔伯特空间$K$上的自对偶CAR代数框架内进行，其中存在一个共轭酉对合$J$，并分解为左、右子空间$K_L \oplus K_R$。
• 通过由$\mathfrak{A}$和实现自同构$\Theta_-$的酉算符$T$生成的交叉积$\hat{\mathfrak{A}} = \mathfrak{A} \rtimes {\bf Z}_2$研究分裂性质。
• 构造一个${\bf Z}_2$-分级乘积态$\psi_L \otimes_{{\bf Z}_2} \psi_R$，以模拟左右子系统之间的统计独立性。
• Jordan-Wigner变换将费米子系统映射到自旋系统，从而可在自旋表示中分析自旋序。
• 使用${\bf Z}_2$指标$\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = \pm 1$对基态进行分类：$+1$表示无长程序的纯态，$-1$表示存在自旋序的非纯态。
• 通过谱分析和GNS表示证明，泡利自旋基态$\psi^P$的非纯性意味着长程自旋序的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维费米子系统中，由CAR代数描述的能隙基态的分裂性质如何体现？
• RQ2 费米子基态的${\bf Z}_2$指标与自旋序存在之间的精确数学关系是什么？
• RQ3 Jordan-Wigner变换是否保持分裂性质？它与长程量子关联有何关系？
• RQ4 自旋序的有无能否通过相应泡利自旋基态的纯度来表征？
• RQ5 ${\bf Z}_2$分次结构和自同构$\Theta_-$如何影响代数结构并促成拓扑序的出现？

主要发现

• 在一维晶格上的费米子系统能隙基态中，分裂性质成立，意味着存在辅助空间为无限维的矩阵乘积态表示。
• ${\bf Z}_2$指标$\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = +1$对应于无长程序的纯基态，且在自旋表示中无自旋序。
• ${\bf Z}_2$指标$\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = -1$对应于非纯基态，意味着自旋系统中存在自旋序。
• 自旋序在数学上由非零极限$\lim_{k\to\infty} \psi^P(Q_1 \tau_k(Q_2)) \neq 0$表征，其中$Q_1, Q_2 \in \mathfrak{A}^{P(-)}_{\text{loc}}$为局部奇算符。
• 反之，若存在自旋序，则$\mathrm{ind}_{{\bf Z}_2}\psi = -1$，且泡利自旋基态$\psi^P$非纯。
• 分裂性质确保左子系统代数的交换子为类型I，且在$\Theta$-不变性下保持不变，从而确认了该指标的拓扑性质。