[论文解读] Split Quaternionic Analysis and Separation of the Series for SL(2,R) and SL(2,C)/SL(2,R)

Igor Frenkel, Matvei Libine|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2010

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文将四元数分析推广至分裂四元数 ℝℍ，利用Cayley变换将 SL(2,ℝ) 与虚Lobachevski空间 SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) 关联起来。通过分裂四元数的Cauchy-Fueter与Poisson公式，解决了SL(2,ℝ)离散与连续系列表示的分离问题，揭示了4D量子场论中的无质量奇异函数即为投影至这些系列的投影算子，并基于 ℝℍ 上的Poisson型积分，推导出SL(2,ℝ)的新型Plancherel测度公式。

ABSTRACT

We extend our previous study of quaternionic analysis based on representation theory to the case of split quaternions H_R. The special role of the unit sphere in the classical quaternions H identified with the group SU(2) is now played by the group SL(2,R) realized by the unit quaternions in H_R. As in the previous work, we use an analogue of the Cayley transform to relate the analysis on SL(2,R) to the analysis on the imaginary Lobachevski space SL(2,C)/SL(2,R) identified with the one-sheeted hyperboloid in the Minkowski space M. We study the counterparts of Cauchy-Fueter and Poisson formulas on H_R and M and show that they solve the problem of separation of the discrete and continuous series. The continuous series component on H_R gives rise to the minimal representation of the conformal group SL(4,R), while the discrete series on M provides its K-types realized in a natural polynomial basis. We also obtain a surprising formula for the Plancherel measure on SL(2,R) in terms of the Poisson integral on the split quaternions H_R. Finally, we show that the massless singular functions of four-dimensional quantum field theory are nothing but the kernels of projectors onto the discrete and continuous series on the imaginary Lobachevski space SL(2,C)/SL(2,R). Our results once again reveal the central role of the Minkowski space in quaternionic and split quaternionic analysis as well as a deep connection between split quaternionic analysis and the four-dimensional quantum field theory.

研究动机与目标

• 将四元数分析从紧致四元数 ℍ 推广至分裂四元数 ℝℍ，推广此前关于 ℍ 的结果至非紧致实形式。
• 利用分裂四元数积分公式，解决SL(2,ℝ)的离散与连续单位表示系列的分离问题。
• 通过Cayley变换的类比，建立 ℝℍ 上的调和分析与虚Lobachevski空间 SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) 之间的对应关系。
• 将分裂四元数分析与SL(4,ℝ)的最小表示及共形群 SO(3,3) 关联，并将其与4D量子场论联系起来。

提出的方法

• 利用分裂四元数代数 ℝℍ ≅ M(2,ℝ)，其度量符号为 (2,2)，将 SL(2,ℝ) 识别为 ℝℍ 中的单位双曲面。
• 应用Cayley变换的类比，将虚Lobachevski空间 SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) 映射至 ℝℍ 中的单位双曲面，实现离散与连续系列分量的互换。
• 在 ℝℍ 与闵氏空间 ℳ 上推导Cauchy-Fueter与Poisson积分公式的对应形式，解决系列分离问题。
• 通过向 ℳ 与 ℝℍ 的调和延拓，实现 SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) 与 SL(2,ℝ) 上函数的表示论分析。
• 通过 ℳ 上的多项式基底识别 SL(4,ℝ) 最小表示的 K-型，并通过 SU(1,1) 在 ℝℍ 上的作用实现其表示。
• 基于 ℝℍ 上的Poisson型积分，推导出 SL(2,ℝ) 的Plancherel测度的新公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将四元数分析理论从紧致四元数 ℍ 推广至分裂四元数 ℝℍ？
• RQ2 ℝℍ 与闵氏空间 ℳ 上的Cauchy-Fueter与Poisson公式如何解决SL(2,ℝ)的离散与连续系列分离问题？
• RQ3 Cayley变换在 ℝℍ 中的单位双曲面与 ℳ 中单叶双曲面之间起到何种作用？
• RQ4 SL(4,ℝ) 的最小表示及其 K-型如何通过 ℳ 上的多项式基底实现？
• RQ5 4D量子场论中的无质量奇异函数与 SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) 上离散与连续系列的投影算子之间有何联系？
• RQ6 SL(2,ℝ) 的Plancherel测度能否通过 ℝℍ 上的Poisson型积分表达？

主要发现

• 分裂四元数的Cauchy-Fueter与Poisson公式成功实现了SL(2,ℝ)离散与连续系列表示的分离。
• ℝℍ 上的连续系列分量生成了共形群 SL(4,ℝ) 的最小单位表示。
• 在虚Lobachevski空间 SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) 上的离散系列提供了在闵氏空间 ℳ 上自然多项式基底中实现的 K-型。
• 通过 ℝℍ 上的Poisson型积分，推导出SL(2,ℝ)的Plancherel测度的新公式。
• 4D量子场论中的无质量奇异函数被识别为投影至 SL(2,ℂ)/SL(2,ℝ) 上离散与连续系列的投影算子的核。
• 闵氏空间 ℳ 通过共形群 SO(3,3) 在统一分裂四元数分析与4D量子场论中起到核心作用。