[论文解读] Split rank of triangle and quadrilateral inequalities

Santanu S. Dey, Quentin Louveaux|ArXiv.org|Jun 4, 2009

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文证明，对于两行混合整数规划松弛的凸包，所有极小面定义的三角形和四边形不等式均具有有限分割阶数，除了柯克等人[15]先前证明具有无限分割阶数的某一类特定三角形不等式。作者提供了显式构造的分割不等式序列，可生成所有此类有限分割阶数的不等式，从而解决了混合整数规划割平面理论中的一个关键问题。

ABSTRACT

A simple relaxation of two rows of a simplex tableau is a mixed integer set consisting of two equations with two free integer variables and non-negative continuous variables. Recently Andersen, Louveaux, Weismantel and Wolsey (2007) and Cornuejols and Margot (2008) showed that the facet-defining inequalities of this set are either split cuts or intersection cuts obtained from lattice-free triangles and quadrilaterals. Through a result by Cook, Kannan and Schrijver (1990), it is known that one particular class of facet-defining triangle inequality does not have a finite split rank. In this paper, we show that all other facet-defining triangle and quadrilateral inequalities have a finite split-rank. The proof is constructive and given a facet-defining triangle or quadrilateral inequality we present an explicit sequence of split inequalities that can be used to generate it.

研究动机与目标

• 确定两行混合整数规划松弛凸包的极小面定义不等式中，哪些具有有限分割阶数。
• 解决一个开放问题：即所有三角形和四边形不等式（除已知的一类外）是否可通过重复应用分割切割生成。
• 提供一种显式、构造性的分割不等式序列，用于生成所有具有有限分割阶数的极小面定义三角形和四边形不等式。

提出的方法

• 作者分析了由两个自由整数变量和非负连续变量定义的两行松弛集P(R,f)的凸包结构。
• 他们利用已知的极小面定义不等式分类结果，即这些不等式要么是分割切割，要么来自格点自由三角形和四边形的交集切割。
• 通过几何和多面体技术分析分割阶数，将问题简化为最多包含四个连续变量的集合。
• 开发了一种构造性算法，用于为每个具有有限分割阶数的极小面定义不等式生成所需的分割不等式序列。
• 分析根据不等式的几何支撑类型进行区分，并利用凸组合和顶点枚举来验证其有效性和紧致性。
• 作者应用Cook等人[15]关于某一类特定三角形不等式具有无限分割阶数的结果，以确立边界情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 conv(P(R,f))的极小面定义不等式中，哪些具有有限分割阶数？
• RQ2 所有三角形和四边形不等式（除已知的无限分割阶数类外）是否可通过重复应用分割切割生成？
• RQ3 是否存在一种构造性方法，可生成有限长度的分割不等式序列，以得到任意给定的具有有限分割阶数的极小面定义三角形或四边形不等式？
• RQ4 哪些几何和代数性质可将唯一一类具有无限分割阶数的三角形不等式与其他所有不等式区分开来？
• RQ5 如何系统地分析并界定由格点自由三角形和四边形导出的交集切割的分割阶数？

主要发现

• conv(P(R,f))的所有极小面定义三角形和四边形不等式均具有有限分割阶数，除了柯克等人[15]识别出的某一类特定三角形不等式。
• 对于每一个具有有限分割阶数的极小面定义不等式，本文构造了一个显式的有限长度分割不等式序列，可用于生成该不等式。
• 证明表明，无限分割阶数仅属于某一类特定三角形不等式，其余所有不等式均可通过分割切割有限步内生成。
• 分析确认，除这一例外类别外，所有来自格点自由三角形和四边形的不等式均具有有限分割阶数。
• 作者证明，任何此类有限分割阶数不等式的分割阶数是有限且可构造计算的，方法为几何分解与顶点分析。
• 本文对两行松弛中所有极小面定义不等式的分割阶数行为进行了完整分类，解决了割平面理论中长期存在的一个开放问题。