[论文解读] Splitting curves on a rational ruled surface, the Mordell-Weil groups of hyperelliptic fibrations and Zariski pairs

Hiro‐o Tokunaga|ArXiv.org|May 1, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了有理规则曲面上分裂曲线的互惠律，将双覆盖的拓扑性质与双椭圆纤维化中的Mordell-Weil群联系起来。证明了曲线在双覆盖下的分裂行为由椭圆纤维化曲面上的截面算术性质所控制，从而通过几何与算术对偶性，构造出新的六次曲线Zariski对。

ABSTRACT

Let $Σ$ be a smooth projective surface, let $f' : S' o Σ$ be a double cover of $Σ$ and let $μ: S o S'$ be the canonical resolution. Put $f = f'\circμ$. An irreducible curve $C$ on $Σ$ is said to be a splitting curve with respect to $f$ if $f^*C$ is of the form $C^+ + C^- + E$, where $C^- = σ_f^*C^+$, $σ_f$ being the covering transformation of $f$ and all irreducible components of $E$ are contained in the exceptional set of $μ$. In this article, we show that a kind of "reciprocity" of splitting curves holds for a certain pair of curves on rational ruled surfaces. As an application, we consider the topology of the complements of certain curves on rational ruled surfaces.

研究动机与目标

• 制定有理规则曲面上分裂曲线的几何互惠律。
• 通过双覆盖与椭圆纤维化，研究有理规则曲面上曲线补集的拓扑性质。
• 利用Mordell-Weil群与分裂除子之间的相互作用，构造新的六次曲线Zariski对。
• 在代数曲面与分支覆盖的背景下，为二次互惠律提供几何解释。

提出的方法

• 将分裂曲线定义为在双覆盖下拉回后分解为共轭分量与例外除子的不可约曲线。
• 使用双覆盖的典范解析来分析拉回结构及其分量。
• 将曲线的分裂行为与有理规则曲面上相关双椭圆纤维化的Mordell-Weil群联系起来。
• 通过形如 $\Delta_{0,2n} + T_{2n}^{(\nu)}$ 的除子（其中 $T_{2n}^{(\nu)}$ 不可约且具有简单奇点）构造Hirzebruch曲面的双覆盖，指定分支位置。
• 利用椭圆纤维化通用纤维上的群运算，识别来自挠点的截面，并将其与二次曲线和四次曲线联系起来。
• 应用文献[2]中的判别准则，根据Mordell-Weil群中的分裂条件与可除性，确定在 $2C + nQ$ 处分支的 $D_{2n}$-覆盖是否存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有理规则曲面上，曲线 $D$ 在何种条件下成为相对于双覆盖的分裂曲线？
• RQ2 有理规则曲面上双椭圆纤维化的Mordell-Weil群如何控制曲线的分裂行为？
• RQ3 分裂曲线的互惠律是否可用于构造六次曲线的Zariski对？
• RQ4 在双覆盖背景下，分裂条件 $f^*\mathcal{D} = \mathcal{D}^+ + \mathcal{D}^- + E$ 的几何与算术意义是什么？

主要发现

• 在有理规则曲面上存在分裂曲线的互惠律，其中一条曲线在双覆盖下的分裂行为由相关纤维化的Mordell-Weil群决定。
• 在 $2C + nQ$ 处分支的 $D_{2n}$-覆盖的存在性，等价于在 $2(\Delta_{0,2} + \Delta_C) + nT_Q$ 处分支的 $D_{2n}$-覆盖的存在性，其中 $Q$ 为具有 $2a_1$ 或 $a_3$ 奇点的四次曲线。
• 构造了两组六次曲线Zariski对：一组来自具有 $2a_1$ 奇点的四次曲线，另一组来自具有一个 $a_3$ 奇点的四次曲线，两者均在四个光滑点处与二次曲线相切。
• 椭圆曲面上的截面 $2s_o$ 与 $s_1 + s_2$ 分别对应于二次曲线 $C_1$ 与 $C_2$，其不同的拓扑结构导致 $(C_1 \cup Q, C_2 \cup Q)$ 对非同胚。
• 该构造证实了这些对为Zariski对，且这些例子包含在Shimada的列表中，但本文通过Mordell-Weil群提供了新的几何-算术解释。
• 经解析的双覆盖的Mordell-Weil群无2阶挠点，意味着分支除子 $T_{2n}^{(\nu_n)}$ 不可约，这对构造至关重要。