[论文解读] Splitting Parabolic Manifolds

Morris Kalka, Giorgio Patrizio|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文引入了$(k,l)$-分裂抛物流形的概念——即配备有两个光滑且严格强拟凸函数$u$和$v$的复流形，其满足Monge-Ampère型条件——并证明在全局拓扑假设（闭叶）下，此类流形双全纯等价于$\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$。关键结果通过全纯叶状结构与 exhaustion 函数建立了双全纯同构，推广了Stoll对$\mathbb{C}^N$作为欧几里得空间乘积的刻画。

ABSTRACT

We study the geometric properties of complex manifolds possessing a pair of plurisubharmonic functions satisfying Monge-Ampère type of condition. The results are applied to characterize complex manifolds biholomorphic to $\C^{N}$ viewed as a product of lower dimensional complex euclidean spaces.

研究动机与目标

• 通过几何与分析条件，将双全纯等价于$\mathbb{C}^N$的复流形刻画为低维欧几里得空间$\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$的乘积。
• 通过满足特定Monge-Ampère型方程的两个光滑强拟凸函数$u$和$v$，定义并研究$(k,l)$-分裂抛物流形。
• 建立$u$和$v$所诱导的叶状结构为全纯叶状结构，且其叶分别双全纯等价于$\mathbb{C}^k$和$\mathbb{C}^l$的条件。
• 证明最小集$\{u=0\}$和$\{v=0\}$为复解析子流形，并作为叶状结构的横截截面。
• 通过投影映射与特殊叶的参数化，构造分裂抛物流形与$\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$之间的全局双全纯同构。

提出的方法

• 通过四个公理定义$(k,l)$-分裂抛物流形：光滑强拟凸函数$u,v$，在正水平集上$(dd^c \log u)^k$与$(dd^c \log v)^l$的消失，$(dd^c u)^k \wedge (dd^c v)^l$的正性，以及$u+v$为exhaustion函数。
• 利用复Monge-Ampère叶状结构理论，构造由$l$-维与$k$-维子流形组成的全纯叶状结构$\mathcal{F}_u$与$\mathcal{F}_v$，其中$u$与$v$沿叶为常数。
• 假设$\mathcal{F}_u$与$\mathcal{F}_v$的叶为闭的，这意味着它们是无界的严格抛物流形，因此分别双全洁等价于$\mathbb{C}^l$与$\mathbb{C}^k$。
• 通过将$\mathcal{F}_v$与$\mathcal{F}_u$的叶分别与最小集$L^u_0 = \{u=0\}$与$L^v_0 = \{v=0\}$相交，定义投影映射$\Pi^u: M \to L^u_0$与$\Pi^v: M \to L^v_0$。
• 通过将特殊叶$L^u_0$与$L^v_0$的逆参数化与投影映射复合，构造一个双全纯映射$G: M \to \mathbb{C}^N$，从而得到所求双全纯同构的全局逆。
• 利用Stoll关于严格抛物exhaustion的定理，确保在所构造映射下，$\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$上标准范数的拉回与$u$和$v$一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何与分析条件下，可证明复流形$M$双全洁等价于$\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$？
• RQ2 $(dd^c \log u)^k$与$(dd^c \log v)^l$在正水平集上的消失性如何与$\mathbb{C}^N$的乘积结构相关？
• RQ3 Monge-Ampère叶状结构$\mathcal{F}_u$与$\mathcal{F}_v$的闭性与全纯性在重构$M$的整体几何中起何种作用？
• RQ4 $\{u=0\}$与$\{v=0\}$的最小集能否作为叶状结构的横截截面，并支持全局双全纯同构的构造？
• RQ5 为何结果无法直接推广至有界区域如$\mathbb{B}^k(R_1) \times \mathbb{B}^l(R_2)$？其结构上的何种差异阻止了此类推广？

主要发现

• 在$\mathcal{F}_u$与$\mathcal{F}_v$的叶为闭的条件下，$(k,l)$-分裂抛物流形通过投影至最小集与特殊叶的参数化构造的映射，双全洁等价于$\mathbb{C}^k \times \mathbb{C}^l$。
• 每个$\mathcal{F}_u$的叶双全洁等价于$\mathbb{C}^l$，每个$\mathcal{F}_v$的叶双全洁等价于$\mathbb{C}^k$，且在叶闭的假设下，两个叶状结构均为全纯的。
• $L^u_0 = \{u=0\}$与$L^v_0 = \{v=0\}$分别为复解析子流形，维数分别为$l$与$k$，且各自是对应叶状结构的单个叶。
• 对$\mathcal{F}_u$的每个叶$L$，存在唯一一点$O_L \in L^v_0$使得$L \cap L^v_0 = \{O_L\}$，类似地，对$\mathcal{F}_v$-叶与$L^u_0$的交点亦唯一。
• 投影映射$\Pi^u$与$\Pi^v$为全纯的，所构造的映射$G: M \to \mathbb{C}^N$为双全洁同构，且满足$u \circ G^{-1}(z,w) = \|z\|_k^2$与$v \circ G^{-1}(z,w) = \|w\|_l^2$。
• 结果表明$u+v$是$M$上的严格抛物exhaustion，且$\left(dd^c(u+v) ight)^N = 0$在$M \setminus \{\mathbf{O}\}$上成立，尽管此性质不能直接从初始假设推导。