[论文解读] Splitting schemes for a Lagrange multiplier formulation of FSI with immersed thin-walled structure: stability and convergence analysis

Michele Annese, Miguel A. Fernández+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2020

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 53被引用 11

一句话总结

本文提出了一种用于浸入式薄壁结构流固耦合问题的半隐式分裂格式，采用拉格朗日乘子法进行建模。该方法在每个时间步无需求解耦合系统，即可实现无条件稳定性和最优的一阶时间精度，通过算子分裂和基于外推的 velocity 预测实现高效且稳定的模拟。

ABSTRACT

The numerical approximation of incompressible fluid-structure interaction problems with Lagrange multiplier is generally based on strongly coupled schemes. This delivers unconditional stability but at the expense of solving a computationally demanding coupled system at each time-step. For the case of the coupling with immersed thin-walled solids, we introduce a class of semi-implicit coupling schemes which avoids strongly coupling without compromising stability and accuracy. A priori energy and error estimates are derived. The theoretical results are illustrated through numerical experiments in an academic benchmark.

研究动机与目标

• 解决不可压缩流固耦合问题中浸入式薄壁弹性结构的稳定且精确模拟挑战。
• 通过引入半隐式分裂方法，克服强耦合格式带来的计算负担。
• 确保在无结构网格方法中采用拉格朗日乘子耦合时的时间无条件稳定性和最优收敛性。
• 针对线性不可压缩 FSI 问题，为所提格式提供严格的先验能量和误差分析。
• 通过学术基准问题的数值实验，展示该方法的性能。

提出的方法

• 使用拉格朗日乘子强制流-固界面处速度连续性，建立流固耦合问题的弱形式。
• 采用时间分裂策略，将流体和结构子问题解耦，同时保持稳定性。
• 利用一阶和二阶外推法预测流体子问题中界面的运动。
• 采用半隐式时间离散格式，其中流体速度和压力隐式更新，而固体速度通过外推法预测。
• 采用有限元方法进行空间离散化，使用非拟合网格，使流体域独立于固体构型。
• 构建单体弱形式，并推导出一种分区算法，即在每个时间步依次求解流体和结构子问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为采用拉格朗日乘子的浸入式 FSI 设计一种半隐式分裂格式，避免强耦合的同时保持无条件稳定性？
• RQ2 为实现一阶精度而不损害稳定性，时间离散化和外推法的最优阶数是什么？
• RQ3 在无结构网格方法背景下，该方法与单体格式或其他分区格式相比，在稳定性和收敛性方面表现如何？
• RQ4 外推阶数的选择在多大程度上影响该格式的精度和稳定性？
• RQ5 能否为这一类分裂格式在线性不可压缩 FSI 中严格推导出先验能量和误差估计？

主要发现

• 所提出的采用一阶外推的分裂格式在理论上证明了无条件稳定性和最优的一阶时间收敛性，其依据为先验能量和误差估计。
• 数值实验结果表明，当时间步长减小时，速度、速度梯度和位移的收敛率均趋近于一阶。
• 当时间步长足够小时，采用二阶外推的分区格式的误差趋近于单体格式的误差，验证了其精度。
• 即使在大时间步长下，采用一阶外推的格式仍保持稳定和准确，且误差随 τ 单调递减。
• 数值测试中观察到的收敛率（如速度和位移约为 ~1.0，速度梯度约为 ~1.0–1.02）与理论预测一致。
• 在外推阶数的影响方面，其在粗时间步长下最为显著，此时二阶外推相比一阶外推显著提升了精度。