[论文解读] Splitting the Dirac equation: the case of longitudinal potentials

Andrzej Okniński|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文展示了在纵向外部场中，狄拉克方程可被分解为两个协变子方程，每个子方程均类似于带有内置投影算符的狄拉克方程。该分解导致在 $(x^0, x^3)$ 子空间中出现二维狄拉克方程，在 $(x^1, x^2)$ 子空间中出现二维泡利方程，有效质量受横向场耦合的影响而改变，揭示了在电场和磁场中动力学被修改的粒子-反粒子图像。

ABSTRACT

Recently, we have demonstrated that some subsolutions of the free Duffin-Kemmer-Petiau and the Dirac equations obey the same Dirac equation with some built-in projection operators. In the present paper we study the Dirac equation in the interacting case. It is demonstrated that the Dirac equation in longitudinal external fields can be also splitted into two covariant subequations.

研究动机与目标

• 将先前关于自由狄拉克方程子解的结果扩展到存在外部场的相互作用情形。
• 研究在纵向势场中狄拉克方程是否可被分解为两个带有内置投影算符的协变子方程。
• 在子解中实现变量分离，并推导出描述外场中粒子动力学的低维方程。
• 揭示子解的物理意义，即描述具有有效质量的粒子与反粒子。

提出的方法

• 使用 $π^{A\dot{B}}$ 形式将狄拉克方程以旋量记法重新表述，通过规范势的最小耦合表达动量算符。
• 引入新变量 $\xi_{(1)}^{1}, \xi_{(2)}^{1}, \xi_{(1)}^{2}, \xi_{(2)}^{2}$，将原方程分解为两个耦合的子解。
• 施加条件 $[\pi^0 \pm \pi^3, \pi^1 \pm i\pi^2] = 0$，该条件适用于仅依赖于 $(x^0, x^3)$ 和 $(x^1, x^2)$ 的纵向势场，从而实现变量分离。
• 将变量分离为纵向分量 $(x^0, x^3)$ 与横向分量 $(x^1, x^2)$，为每个子解得到二维狄拉克方程与泡利方程。
• 通过重新标度变换，将所得方程转化为标准的二维狄拉克与泡利形式，有效质量为 $\tilde{m} = \sqrt{m^2 + \lambda_{\dot{1}}^2}$ 与 $\hat{m} = \sqrt{m^2 + \lambda_{\dot{2}}^2}$。
• 从子解的结构中得出物理解释，表明其表现出粒子与反粒子行为，且动力学被修改。

实验结果

研究问题

• RQ1 在纵向外部场中，狄拉克方程是否可被分解为两个带有内置投影算符的协变子解？
• RQ2 在何种四维势条件下，这种分解保持一致且满足洛伦兹协变性？
• RQ3 在 1+1 维与二维中分离后的子解如何描述电场与磁场中粒子的动力学？
• RQ4 在由分解导出的低维方程中，有效质量起什么作用？
• RQ5 在外部场存在下，子解如何对应于粒子与反粒子态？

主要发现

• 在纵向场中的狄拉克方程可分解为两个协变子解，每个子解均满足带有内置投影算符的狄拉克方程，类似于自由情况。
• 子解导致在 $(x^0, x^3)$ 子空间中出现二维狄拉克方程，有效质量为 $\tilde{m} = \sqrt{m^2 + \lambda_{\dot{1}}^2}$ 与 $\hat{m} = \sqrt{m^2 + \lambda_{\dot{2}}^2}$。
• 横向动力学由 $(x^1, x^2)$ 子空间中的二维泡利方程描述，其哈密顿量包含 $qH(x^1,x^2)$ 项与自旋-轨道耦合。
• 变量分离实现了自洽分解：$\eta_{\dot{1}} = \varphi_{\dot{1}}(x^0,x^3)\psi_{\dot{1}}(x^1,x^2)$，其中 $\varphi_{\dot{1}}$ 满足二维狄拉克方程，$\psi_{\dot{1}}$ 满足二维泡利方程。
• 第二个子解也具有相同结构：$\eta_{\dot{2}} = \varphi_{\dot{2}}(x^0,x^3)\psi_{\dot{2}}(x^1,x^2)$，导致第二个二维狄拉克与泡利系统，具有不同的有效质量与磁耦合。
• 物理图像为：粒子与反粒子沿 $x^3$-轴运动，具有有效质量，而横向自由度则经历磁场作用，与外场中的相对论动力学一致。