[论文解读] Spontaneous Symmetry Breaking of Lorentz and (Galilei) Boosts in (Relativistic) Many-Body Systems

Manfred Requardt|arXiv (Cornell University)|May 20, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文证明，在相对论与非相对论多体系统中，由于粒子数密度或能量密度非零，导致洛伦兹和伽利略提升对称性发生自发性对称性自发性破缺（SSB），从而产生具有声子类特征的无能隙金斯通激发。研究表明，这些模式通过热力学极限下的重定义哈密顿量出现，其能量-动量谱覆盖整个正半空间，尽管提升生成元不具备时间平移不变性，仍证实了广义金斯通现象的存在。

ABSTRACT

We extend a result by Ojima on spontaneous symmetry breaking of Lorentz boosts in thermal (KMS) states and show that it is in fact a special case in a more general class of examples of spontaneous symmetry breaking of Lorentz symmetry in relativistic many-body systems. Furthermore we analyse the nature of the corresponding Goldstone phenomenon and the type of Goldstone excitations (provided they have particle character).

研究动机与目标

• 将奥吉玛关于KMS态中洛伦兹提升对称性自发性破缺的结果推广至更广泛的相对论与非相对论多体系统。
• 分析由提升SSB产生的金斯通激发的性质，特别是其粒子特征与无能隙色散关系。
• 阐明在提升生成元与时间演化不交换的情况下，金斯通定理仍成立的条件。
• 区分有限体积与热力学极限下集体激发（包括金斯通模式）与准粒子及真空粒子的差异。

提出的方法

• 引入算符与态的谱支撑分析，以处理非平移协变的电流，特别是与洛伦兹和伽利略提升相关的电流。
• 定义重整化哈密顿量 $ K = H - n \rho_0 $，其中 $ \rho_0 $ 为能量或粒子密度，以分离出物理激发谱。
• 在有限体积中使用福克空间形式，以 $ n $-粒子态研究与提升相关的产生/湮灭算符 $ b^\dagger(\mathbf{k}) $, $ b(\mathbf{k}) $ 的作用。
• 分析热力学极限下 $ N $-粒子激发的能量谱，表明对于固定总动量，低动量模式可呈现任意小的能量。
• 应用缩放论证，令 $ \varepsilon_i \sim \varepsilon/4 $, $ N \sim 2k/\varepsilon $，以证明当 $ N \to \infty $ 时 $ E_N \to 0 $，即使总动量 $ \mathbf{k} $ 固定。
• 在热力学极限中将零动量模式视为 c-数，满足 $ a(0)/n^{1/2} \to e^{i\alpha} \delta(\mathbf{k}) $，以处理凝聚态效应与规范对称性破缺。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多体系统中会发生洛伦兹提升的自发性对称性破缺？其结果如何推广至热平衡KMS态之外的系统？
• RQ2 当提升生成元与哈密顿量不交换时，金斯通激发如何表现？这是否挑战了标准金斯通定理？
• RQ3 由此产生的激发的能量-动量谱具有何种性质？在热力学极限下是否覆盖整个正半空间？
• RQ4 相对论动力学与破缺的提升对称性之间的相互作用如何导致集体激发，特别是声子类模式的出现？
• RQ5 重整化哈密顿量 $ K = H - \mu \hat{N} $ 在定义物理谱与实现金斯通模式分析中起到何种作用？

主要发现

• 洛伦兹与伽利略提升对称性的自发性破缺源于非零的粒子数或能量密度，将奥吉玛在KMS态中的结果推广至更广泛的多体系统。
• 金斯通激发为无能隙且具有声子特征，其色散关系在小 $ k $ 时近似为 $ \omega_k - \omega_0 \approx \frac{1}{2m} k^2 $，表明存在软模谱。
• 在热力学极限下，固定总动量 $ \mathbf{k} $ 的 $ N $-粒子激发的能量可被无限缩小，满足 $ E_N \to 0 $ 当 $ N \to \infty $，证实了无能隙模式的存在。
• 重定义的哈密顿量 $ K = H - \mu \hat{N} $，其中 $ \mu = \omega_0 $，可分离出物理谱，并通过 $ K b^\dagger(\mathbf{k}) |n\rangle = (\omega_k - \omega_0) b^\dagger(\mathbf{k}) |n\rangle $ 识别出无能隙模式。
• 在热力学极限中，零动量模式表现为 c-数，满足 $ a(0)/n^{1/2} \to e^{i\alpha} \delta(\mathbf{k}) $，反映了凝聚态形成与规范对称性破缺。
• 在热力学极限下，整个正能量-动量谱被覆盖，表明系统对所有动量均支持无能隙激发，与广义金斯通现象一致。