[论文解读] Spreading in a shifting environment modeled by the diffusive logistic equation with a free boundary

Yihong Du, Lei Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文通过带有自由边界的扩散逻辑方程研究了在环境移动背景下入侵物种的传播动力学，其中适宜栖息地以速度 $ c $ 移动。关键结果为三支分类：当初始种群大小相对于阈值 $ \rho_0 $ 较小时为灭绝，临界情况为边界传播，种群大小较大时为传播；传播仅在 $ c < c_0 $ 时发生，其中 $ c_0 $ 为静态适宜环境中种群的渐近传播速度。

ABSTRACT

We investigate the influence of a shifting environment on the spreading of an invasive species through a model given by the diffusive logistic equation with a free boundary. When the environment is homogeneous and favourable, this model was first studied in Du and Lin \cite{DL}, where a spreading-vanishing dichotomy was established for the long-time dynamics of the species, and when spreading happens, it was shown that the species invades the new territory at some uniquely determined asymptotic speed $c_0&gt;0$. Here we consider the situation that part of such an environment becomes unfavourable, and the unfavourable range of the environment moves into the favourable part with speed $c&gt;0$. We prove that when $c\geq c_0$, the species always dies out in the long-run, but when $00$ a parameter, then there exists $σ_0&gt;0$ such that vanishing happens when $σ\in (0,σ_0)$, borderline spreading happens when $σ=σ_0$, and spreading happens when $σ&gt;σ_0$.

研究动机与目标

• 理解气候驱动的环境变化如何影响入侵物种的长期生存与空间传播。
• 将静态适宜环境中的传播-灭绝二分法扩展到动态移动环境，采用自由边界模型。
• 确定物种在移动的适宜栖息地中能够持续存在并传播的关键条件。
• 识别初始种群大小在移动环境中决定长期结果的作用。

提出的方法

• 使用带有自由边界的扩散逻辑方程建模物种传播：$ u_t = d u_{xx} + A(x - ct)u - b u^2 $，其中 $ A(\theta) $ 为从负到正逐步增加的分段函数。
• 在 $ x = 0 $ 处施加无通量条件，在移动边界 $ x = h(t) $ 处施加 Stefan 型条件 $ h'(t) = -\nu u_x(t, h(t)) $，表示种群驱动的前缘扩展。
• 分析解 $ (u, h) $ 在不同环境移动速度 $ c $ 下的长期行为，并与静态适宜环境中的渐近传播速度 $ c_0 $ 进行比较。
• 采用比较原理、上/下解方法及渐近分析，建立收敛结果并给出种群大小与区域大小的上下界。
• 引入参数 $ \rho_0 $，通过初始种群 $ u_0(x) = \rho \theta(x) $ 定义，用于确定灭绝与传播之间的阈值。
• 通过变换 $ v(t,x) = u(t, x + ct) $ 在移动参考系中分析问题，从而可与有界区域中的稳态解进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 当环境移动速度 $ c $ 超过物种在静态适宜环境中的内在传播速度 $ c_0 $ 时，物种会发生什么？
• RQ2 当 $ c < c_0 $ 时，初始种群大小 $ \rho $ 如何影响长期结果——灭绝、边界传播或传播？
• RQ3 如果适宜区域移动足够缓慢，物种是否能在移动环境中持续存在并传播？传播速度由什么决定？
• RQ4 自由边界 $ h(t) $ 在捕捉环境变化下入侵前缘动力学方面起什么作用？
• RQ5 当 $ c = c_0 $ 时，模型行为与 $ c < c_0 $ 时有何不同？灭绝与传播之间的转变由什么决定？

主要发现

• 当 $ c \to c_0 $ 时，无论初始种群大小如何，物种最终都会灭绝。
• 当 $ 0 < c < c_0 $ 时，长期行为由三支分类决定：初始种群较小时（$ \rho < \rho_0 $）为灭绝，$ \rho = \rho_0 $ 时为边界传播，$ \rho > \rho_0 $ 时为传播。
• 阈值 $ \rho_0 $ 严格为正，且依赖于初始种群分布 $ \theta(x) $，当 $ \rho \to 0 $ 时发生灭绝。
• 当 $ c < c_0 $ 时，种群在移动区间 $ (ct, c^*t) $ 内渐近趋近于 $ a/b $，其中 $ c^* = 2\tau\tau $ 为静态情况下的传播速度。
• 当 $ c \to c_0 $ 时，移动边界 $ h(t) $ 保持有界，导致灭绝，通过与有界区域中衰减解的比较得以证明。
• 当 $ c < c_0 $ 时，对于充分大的 $ t $，种群在区域 $ (ct, c^*t) $ 内保持远离零的有界性，表明成功传播进入移动的适宜区域。