[论文解读] Spreading Speeds and Traveling waves of a parabolic-elliptic chemotaxis system with logistic source on R^N

Rachidi B. Salako, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2016

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{R}^N$ 上具有逻辑斯蒂增长的抛物-椭圆型趋化系统中的传播速度与行波解，表明当 $0 < \chi < 1$ 时，种群与趋化因子以明确定义的速度 $c_-^*(\chi)$ 和 $c_+^*(\chi)$ 传播；当 $0 < \chi < 1/2$ 时，存在速度为 $c^*(\chi)$ 的行波解，且当 $\chi \to 0$ 时，该速度趋于 2。结果从 $N=1$ 推广至高维，并给出了传播速度的显式界。

ABSTRACT

In this paper, we study the spreading speeds and traveling wave solutions of the PDE $$ \begin{cases} u_{t}= Δu-χ abla \cdot (u abla v) + u(1-u),\ \ x\in\mathbb{R}^N 0=Δv-v+u, \ \ x\in\mathbb{R}^N, \end{cases} $$ where $u(x,t)$ and $v(x,t)$ represent the population and the chemoattractant densities, respectively, and $χ$ is the chemotaxis sensitivity. It has been shown in an earlier work by the authors of the current paper that, when $0c_{+}^*(χ).$$ We also show that if $0

研究动机与目标

• 分析 $\mathbb{R}^N$ 上具有逻辑斯蒂源项的抛物-椭圆型趋化系统在空间传播动力学的行为。
• 在 $0 < \chi < 1$ 时，建立系统传播速度 $c_-^*(\chi)$ 和 $c_+^*(\chi)$ 的存在性。
• 证明当 $0 < \chi < 1/2$ 时，存在连接 $ (1,1) $ 到 $ (0,0) $ 的行波解。
• 将一维情形（$N=1$）的结果推广至高维情形（$N \geq 2$）。
• 确定当 $\chi \to 0$ 时传播速度与波速的渐近行为，表明其收敛于 2。

提出的方法

• 研究采用具有逻辑斯蒂增长的抛物-椭圆型趋化系统：$u_t = \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v) + u(1-u)$，$0 = \Delta v - v + u$ 在 $\mathbb{R}^N$ 上。
• 对于 $N=1$，作者在加权函数空间中运用能量估计、比较原理与不动点论证，证明经典解的全局存在性与有界性。
• 通过上解与下解技术分析传播速度，利用指数屏障控制解的衰减与传播速率。
• 通过变量代换 $u(x,t) = U(x - ct)$，$v(x,t) = V(x - ct)$ 将PDE系统约化为ODE系统，并利用Schauder不动点定理证明行波解的存在性。
• 通过摄动分析与Fisher-KPP方程比较，推导速度在 $\chi \to 0$ 时的渐近行为。
• 高维情形的推广依赖于径向对称性、最大值原理，以及与一维界值的比较，特别运用了 $L^\infty$ 估计与空间指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $0 < \chi < 1$ 时，$\mathbb{R}^N$ 上具有逻辑斯蒂源项的抛物-椭圆型趋化系统传播速度 $c_-^*(\chi)$ 与 $c_+^*(\chi)$ 是什么？
• RQ2 当 $0 < \chi < 1/2$ 时，是否存在连接稳态 $ (1,1) $ 与 $ (0,0) $ 的行波解？
• RQ3 当 $\chi \to 0$ 时，传播速度与波速 $c^*(\chi)$ 的行为如何？
• RQ4 $N=1$ 的结果能否推广至高维情形 $N \geq 2$？
• RQ5 传播速度的精确上下界如何用 $\chi$ 与 $N$ 表示？

主要发现

• 当 $0 < \chi < 1$ 时，系统表现出传播行为，满足 $c_-^*(\chi) \leq c_+^*(\chi)$，且对任意 $c < c_-^*(\chi)$，有 $u(x,t) \to 1$ 与 $v(x,t) \to 1$ 在 $|x| \leq ct$ 上一致收敛。
• 当 $c > c_+^*(\chi)$ 时，解在 $|x| \geq ct$ 上一致收敛于零，表明波前退至速度 $c_+^*$ 之外。
• 当 $0 < \chi < 1/2$ 时，存在连接 $ (1,1) $ 到 $ (0,0) $ 的行波解，其速度为 $c^*(\chi)$，且 $c^*(\chi)$ 连续且为正。
• 当 $\chi \to 0$ 时，波速满足 $\lim_{\chi \to 0} c^*(\chi) = \lim_{\chi \to 0} c_+^*(\chi) = \lim_{\chi \to 0} c_-^*(\chi) = 2$，与Fisher-KPP方程的速度一致。
• 对于 $N \geq 2$，$c_+^*(\chi)$ 的上界为 $2 + \frac{\sqrt{N}\chi}{1 - \chi}$，其随 $N$ 与 $\chi$ 增大而增长；当 $\chi < \frac{2}{3 + \sqrt{N+1}}$ 时，$c_-^*(\chi)$ 的下界为正。
• 在给定初值条件下，解对所有 $t \geq 0$ 全局有界且在时空上一致连续，且在 $L^\infty$ 与 $W^{1,\infty}$ 范数下具有统一估计。