[论文解读] Spreading Speeds and Traveling Waves of Nonlocal Monostable Equations in Time and Space Periodic Habitats

Nar Rawal, Wenxian Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 27被引用 6

一句话总结

该论文建立了在时间与空间周期性环境中非局部单稳方程的传播速度与行波解的存在性。它在任意方向 $ \xi $ 上证明了传播速度 $ c^*\!(\xi) $ 的变分表征，并在主特征值条件下，展示了连接稳定周期解 $ u^* $ 与平凡状态 0 的连续周期行波解在速度 $ c > c^*\!(\xi) $ 下的存在性。

ABSTRACT

This paper is devoted to the investigation of spatial spreading speeds and traveling wave solutions of monostable evolution equations with nonlocal dispersal in time and space periodic habitats. It has been shown in an earlier work by the first two authors of the current paper that such an equation has a unique time and space periodic positive stable solution $u^*(t,x)$. In this paper, we show that such an equation has a spatial spreading speed $c^*(ξ)$ in the direction of any given unit vector $ξ$. A variational characterization of $c^*(ξ)$ is given. Under the assumption that the nonlocal dispersal operator associated to the linearization of the monostable equation at the trivial solution $0$ has a principal eigenvalue, we also show that the monostable equation has a continuous periodic traveling wave solution connecting $u^*(\cdot,\cdot)$ and $0$ propagating in any given direction of $ξ$ with speed $c>c^*(ξ)$.

研究动机与目标

• 研究在时间与空间周期性环境中非局部单稳方程的空间传播速度与行波解。
• 将经典局部反应-扩散方程的结果推广至具有周期性时空结构的非局部扩散模型。
• 在任意方向 $ \xi $ 上建立传播速度 $ c^*\!(\xi) $ 的变分表征。
• 证明在速度 $ c > c^*\!(\xi) $ 下，连接稳定周期解 $ u^* $ 与平凡状态 0 的连续周期行波解的存在性。
• 为理解非局部、周期性变化环境中入侵动力学提供严格的理论框架。

提出的方法

• 利用具有时间与空间周期系数的非局部演化方程的比较原理。
• 应用变分表征技术，将传播速度 $ c^*\!(\xi) $ 表征为在周期函数上取下确界的瑞利型商的下确界。
• 利用在平凡解 0 附近线性化非局部算子的主特征值理论，以确保谱稳定性。
• 通过指数型函数与周期扰动构造上下解，以控制解的范围并建立行波的存在性。
• 使用迭代估计与渐近分析，证明解的比值收敛于 1，从而证明波形的唯一性与单调性。
• 依赖于作者先前工作中已建立的唯一正的时空中周期解 $ u^* $ 的存在性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时间与空间周期性环境中，非局部单稳方程在任意方向 $ \xi $ 上的传播速度 $ c^*\!(\xi) $ 是什么？
• RQ2 传播速度 $ c^*\!(\xi) $ 是否可以进行变分表征？该表征与底层核函数及非线性项有何关系？
• RQ3 在何种谱条件下，存在连接 $ u^* $ 与 0 的连续周期行波解？
• RQ4 是否存在一个最小波速 $ c^*\!(\xi) $，使得低于该速度时不存在行波，而所有速度 $ c > c^*\!(\xi) $ 均支持行波？
• RQ5 解的渐近行为如何与非局部周期系统中行波的存在性与稳定性相关联？

主要发现

• 具有时间与空间周期系数的非局部单稳方程存在唯一、正定、时间与空间周期的稳定解 $ u^* $。
• 对每个单位向量 $ \xi $，存在一个传播速度 $ c^*\!(\xi) $，其可通过涉及周期函数的瑞利商的下确界进行变分表征。
• 在假设在 0 处线性化非局部算子的主特征值存在且为正的条件下，该方程在任意速度 $ c > c^*\!(\xi) $ 下均支持连接 $ u^* $ 与 0 的连续周期行波解。
• 当速度 $ c < c^*\!(\xi) $ 时，不存在此类行波解，从而确认 $ c^*\!(\xi) $ 为方向 $ \xi $ 上的最小波速。
• 行波波形在时间和空间上均为周期的，其存在性通过比较原理及对解比值的迭代界得到证明。
• 上解与下解的比值随时间收敛于 1，表明在渐近极限下波形的存在性与唯一性。