[论文解读] Square-Difference-Free Sets of Size Omega(n^{0.7334...})

Richard Beigel, William Gasarch|ArXiv.org|Apr 30, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过在模数 m = 205 下使用模运算和递归组合，构造出大小为 12 的精心选择子集 S，将 {1, ..., n} 中最大无平方差子集的大小下界提升至 Ω(n^{0.7334...})。该结果改进了 Ruzsa 的早期下界，并对二次 van der Waerden 数提供了新的下界。

ABSTRACT

A set A is square-difference free (henceforth SDF) if there do not exist x,y\in A, x e y, such that |x-y| is a square. Let sdf(n) be the size of the largest SDF subset of {1,...,n}. Ruzsa has shown that sdf(n) = Ω(n^{0.5(1+ \log_{65} 7)}) = Ω(n^{0.733077...}) We improve on the lower bound by showing sdf(n) = Ω(n^{0.5(1+ \log_{205} 12)})= Ω(n^{.7443...}) As a corollary we obtain a new lower bound on the quadratic van der Waerden numbers.

研究动机与目标

• 改进 {1, ..., n} 中最大无平方差子集大小的已知下界，记为 sdf(n)。
• 扩展 Ruzsa 使用模运算和递归组合在模 m 下构造无平方差集合的方法。
• 提供一个超过 Ruzsa 之前结果 Ω(n^{0.733077...}) 的 sdf(n) 新下界。
• 通过改进的 sdf(n) 下界，推导出二次 van der Waerden 数的新下界。
• 指出当前下界与已知上界 O(n / log^{c_n} n)（其中 c_n → ∞）之间差距尚未填补的开放问题。

提出的方法

• 通过选择一个无平方因子模数 m 和子集 S ⊆ [m]，使得 S 中任意两个元素在模 m 下的差均非完全平方，从而在模 m 下构造无平方差集合。
• 使用递归组合：给定模 m 和模 m^{2k-2} 的无平方差集合，通过线性组合构造模 m^{2k} 下更大的无平方差集合。
• 应用引理 3.5 推导出递推关系：sdfmod(m^{2k}) ≥ m · sdfmod(m) · sdfmod(m^{2k-2})，从而实现集合大小的指数增长。
• 利用引理 3.6 将 sdfmod(n) 的增长率与对数比 log_m |S| 关联，得出下界为 Ω(n^{0.5(1 + log_m |S|)})。
• 选择 m = 205 和模 205 下大小为 12 的剩余类子集 S，使得其中任意两元素差均非平方，且满足 log_{205} 12 > 0.4668。
• 将模构造与平移的覆盖论证相结合，推导出无平方差染色中函数 f(c) 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 {1, ..., n} 中最大无平方差子集大小的下界提升至超过 Ruzsa 的 Ω(n^{0.733077...})？
• RQ2 对于无平方因子模数 m 和子集 S ⊆ [m]（其中任意两元素在模 m 下的差均非平方），log_m |S| 的最大值是多少？
• RQ3 改进后的 sdf(n) 下界如何影响已知的二次 van der Waerden 数的界限？
• RQ4 能否填补当前下界 Ω(n^{0.7334...}) 与上界 O(n / log^{c_n} n)（其中 c_n → ∞）之间的差距？
• RQ5 哪些模构造能通过递归组合实现无平方差集合的最大可能增长率？

主要发现

• 本文建立了新的下界：sdf(n) = Ω(n^{0.7334...})，优于 Ruzsa 的先前结果 Ω(n^{0.733077...})。
• 该改进通过在模 m = 205 下构造无平方差集合实现，其中使用了子集 S ⊆ {0, 2, 8, 14, 77, 79, 85, 96, 103, 109, 111, 181}，其元素在模 205 下无平方差。
• 增长率通过引理 3.6 推导得出，表明 sdf(n) ≥ Ω(n^{0.5(1 + log_{205} 12)})，其中 log_{205} 12 ≈ 0.4668，因此指数为 0.7334。
• 该方法通过采用更大的模数和更大的子集 S，推广了 Ruzsa 的方法，从而获得更高的指数。
• 作为推论，本文推导出无平方差染色中函数 f(c) 的新下界 f(c) ≥ Ω(c^{3.75})，其中 f(c) 是任意 c-染色 [N] 中必然包含一个差为平方数的单色对的最小 N。
• 本文仍留下开放问题：填补当前下界 Ω(n^{0.7334...}) 与上界 O(n / log^{c_n} n)（其中 c_n → ∞）之间的差距。