[论文解读] Square functions in the Hermite setting for functions with values in UMD spaces

Jorge J. Betancor, Alejandro J. Castro+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文证明了当 $1 < p < \infty$ 时，Lebesgue-Bochner 空间 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 可通过取值于 $\gamma$-Radonifying 算子 $\gamma(H, B)$ 的 Hermite Littlewood-Paley $g$-函数的有界性来表征，其中 $H = L^2((0,\infty), dt/t)$，并证明了 Banach 空间 $B$ 是 UMD 空间当且仅当这些 $g$-函数从 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 有界映射到 $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$。该结果将经典平方函数理论推广到了取值于 UMD 空间的 Hermite 设置。

ABSTRACT

In this paper we characterize the Lebesgue Bochner spaces $L^p(\mathbb{R}^n,B)$, $1

研究动机与目标

• 通过取值于 $\gamma$-Radonifying 算子的 Hermite Littlewood-Paley $g$-函数，表征 $1 < p < \infty$ 时的 Bochner-Lebesgue 空间 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$。
• 通过 Hermite $g$-函数从 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 到 $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$ 的有界性，建立 UMD Banach 空间的全新表征。
• 将平方函数理论从欧几里得设置推广到取值于 UMD Banach 空间的 Hermite 设置。
• 研究 $\gamma$-Radonifying 算子在 Hermite 设置下谱乘子与奇异积分中的作用。

提出的方法

• 作者利用 Hermite 算子 $\mathscr{L} = -\Delta + |x|^2$ 生成的 Poisson 半群 $\{P_t^\mathscr{L}\}_{t>0}$ 定义 Hermite Littlewood-Paley $g$-函数 $g_\mathscr{L}(f)(x) = \left(\int_0^\infty \left|t \frac{\partial}{\partial t} P_t^\mathscr{L}(f)(x)\right|^2 \frac{dt}{t}\right)^{1/2}$。
• 他们引入了从 $H = L^2((0,\infty), dt/t)$ 到 Banach 空间 $B$ 的 $\gamma$-Radonifying 算子空间 $\gamma(H, B)$，该空间在向量值设置中作为 $g$-函数的取值空间。
• 关键技术工具包括 Hermite 热核 $W_t^\mathscr{L}(x,y)$ 的 Mehler 公式、Poisson 核的次序化公式，以及对导数 $\left|\left(\frac{\partial}{\partial x_j} \pm x_j\right)W_u^\mathscr{L}(x,y)\right|$ 的点态估计。
• 他们定义算子 $T_{j,\pm}^\mathscr{L}$ 为 $T_{j,\pm}^\mathscr{L}(f)(x,t) = t \left(\frac{\partial}{\partial x_j} \pm x_j\right) P_t^\mathscr{L}(f)(x)$，并证明当 $B$ 为 UMD 空间时，这些算子有界地从 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 映射到 $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$。
• 作者通过恒等式 $\mathscr{G}_{\mathscr{L}\pm 2,B}(R_j^\pm(f)) = \mp t \left(\frac{\partial}{\partial x_j} \pm x_j\right) P_t^\mathscr{L}(f)$ 将 $g$-函数与 Riesz 变换 $R_j^\pm$ 联系起来，从而利用已知的在 UMD 空间上 $R_j^\pm$ 的 $L^p$ 有界性。
• 他们证明了 $B$ 是 UMD 空间当且仅当 $g$-函数 $g_\mathscr{L}$ 有界地从 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 映射到 $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$，从而建立了 UMD 空间的全新表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过取值于 $\gamma(H, B)$ 的 Hermite Littlewood-Paley $g$-函数，对 $1 < p < \infty$ 的 Bochner-Lebesgue 空间 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 进行表征？
• RQ2 $\gamma$-Radonifying 算子在将平方函数理论推广到 Banach 空间取值的 Hermite 设置中起到什么作用？
• RQ3 Hermite $g$-函数从 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 到 $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$ 的有界性是否与 Banach 空间 $B$ 的 UMD 性质等价？
• RQ4 Hermite 设置下的 Riesz 变换 $R_j^\pm$ 如何与 $g$-函数及 $\gamma$-Radonifying 算子相关联？
• RQ5 在什么条件下，算子 $T_{j,-}^\mathscr{L}$ 从 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 有界映射到 $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$？

主要发现

• Hermite Littlewood-Paley $g$-函数 $g_\mathscr{L}(f)$ 满足等价关系 $\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} \asymp \|g_\mathscr{L}(f)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}$，对 $f \in L^p(\mathbb{R}^n)$ 且 $1 < p < \infty$ 成立，将经典结果推广到了 Hermite 设置。
• 对于 Banach 空间 $B$，空间 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 可通过取值于 $\gamma(H, B)$ 的 $g$-函数的有界性来表征，即 $\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n, B)} \asymp \|g_\mathscr{L}(f)\|_{L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))}$。
• 由 $T_{j,\pm}^\mathscr{L}(f)(x,t) = t \left(\frac{\partial}{\partial x_j} \pm x_j\right) P_t^\mathscr{L}(f)(x)$ 定义的算子 $T_{j,\pm}^\mathscr{L}$，当 $B$ 为 UMD 空间时，对所有 $1 < p < \infty$ 有界地从 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 映射到 $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$。
• $T_{j,+}^\mathscr{L}$ 的有界性对所有 $n \geq 1$ 成立，而 $T_{j,-}^\mathscr{L}$ 由于核导数的增长估计，要求 $n \geq 3$。
• Banach 空间 $B$ 是 UMD 空间当且仅当 Hermite $g$-函数有界地从 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 映射到 $L^p(\mathbb{R}^n, \gamma(H, B))$，对某个（因此对所有）$1 < p < \infty$ 成立，从而为 UMD 空间提供了全新表征。
• Hermite 设置下的 Riesz 变换 $R_j^\pm$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n, B)$ 上有界当且仅当 $B$ 是 UMD 空间，且该性质通过 $\gamma$-Radonifying 算子框架与相关 $g$-函数的有界性相关联。