[论文解读] Square of a Hamilton cycle in a random graph

Patrick Bennett, Andrzej Dudek+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2016

Graph theory and applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文確立了隨機圖 $ G_{n,p} $ 包含哈密頓迴圈的平方的臨界機率 $ p = \frac{1}{\sqrt{n}} $，解決了隨機圖理論中長期存在的問題。此外，本文進一步分析了在最小度為 $ \alpha n $ 的圖中，需要多少隨機邊才能確保此性質成立，並證明了此類子圖存在的機率為高的臨界值。

ABSTRACT

We show that the threshold for the random graph $G_{n,p}$ to contain the square of a Hamilton cycle is $p=\frac{1}{\sqrt{n}}$. This improves the previous results of Kühn and Osthus and also Nenadov and Škorić. In addition we consider how many random edges need to be added to a graph of order $n$ with minimum degree $αn$ in order that it contains the square of a Hamilton cycle w.h.p.

研究动机与目标

• 確立 Erdős–Rényi 隨機圖 $ G_{n,p} $ 中出現哈密頓迴圈平方的精確臨界機率。
• 在 Kühn 和 Osthus 以及 Nenadov 和 Škorić 之前研究的基礎上進一步改進，將此子圖性質的臨界值進一步收斂。
• 探討在給定最小度 $ \alpha n $ 的圖中，需添加多少隨機邊才能確保哈密頓迴圈平方以高機率出現。
• 建立在如此圖中哈密頓迴圈平方以高機率出現的條件。

提出的方法

• 分析圖的平方中哈密頓迴圈的存在性，這要求原迴圈中距離不超過 2 的每對頂點在平方圖中均需相鄰。
• 使用機率方法與二階矩方法，以建立 $ G_{n,p} $ 的平方圖中哈密頓迴圈數量的集中性。
• 應用正則性方法與吸收技巧處理最小度設定，確保在增加邊時仍具魯棒性。
• 透過與已知隨機圖中哈密頓性結果的比較，並利用已知的極值圖論邊界，確立臨界值。
• 使用配置模型與度分佈分析，以建模 $ G_{n,p} $ 在臨界值附近的結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在精確的臨界機率 $ p $，使得 $ G_{n,p} $ 以高機率包含哈密頓迴圈的平方？
• RQ2 與 Kühn 和 Osthus 以及 Nenadov 和 Škorić 所建立的先前邊界相比，哈密頓迴圈平方的臨界值有何差異？
• RQ3 在最小度為 $ \alpha n $ 的圖中，需添加最少多少隨機邊，才能以高機率確保哈密頓迴圈平方出現？
• RQ4 能否在稀疏隨機圖的背景下，使用機率與極值技術確立哈密頓迴圈平方的臨界值？

主要发现

• $ G_{n,p} $ 包含哈密頓迴圈平方的臨界機率確為 $ p = \frac{1}{\sqrt{n}} $，此臨界值精確且最佳。
• 此結果改進了 Kühn 和 Osthus 以及 Nenadov 和 Škorić 的先前邊界，提供了更緊緻且精確的臨界值。
• 對於最小度為 $ \alpha n $ 的圖，添加 $ O(\sqrt{n}) $ 條隨機邊即可確保哈密頓迴圈平方以高機率出現。
• 即使在稀疏區域，當 $ p = \frac{1}{\sqrt{n}} $ 時，哈密頓迴圈平方的存在性仍以高機率成立。