[论文解读] Square Partitions and Catalan Numbers

Matthew Bennett, Vyjayanthi Chari+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出一种新算法，通过迭代应用将方形单元划分（即最大部分为 $k$、最小部分为 1 的划分）映射为划分集合，其基数为 Catalan 数 $c_{\ell-k+1}$ 或其两倍，具体取决于对偶性。该算法定义了一个非同构的有根树结构，并通过双参数族推广至 ballot 数，其在 $\mathfrak{sl}_2$ 的表示理论及仿射李代数的对称函数模方面具有重要意义。

ABSTRACT

For each integer $k\ge 1$, we define an algorithm which associates to a partition whose maximal value is at most $k$ a certain subset of all partitions. In the case when we begin with a partition $λ$ which is square, i.e $λ=λ_1\ge...\geλ_k>0$, and $λ_1=k,λ_k=1$, then applying the algorithm $\ell$ times gives rise to a set whose cardinality is either the Catalan number $c_{\ell-k+1}$ (the self dual case) or twice the Catalan number. The algorithm defines a tree and we study the propagation of the tree, which is not in the isomorphism class of the usual Catalan tree. The algorithm can also be modified to produce a two--parameter family of sets and the resulting cardinalities of the sets are the ballot numbers. Finally, we give a conjecture on the rank of a particular module for the ring of symmetric functions in $2\ell+m$ variables.

研究动机与目标

• 定义一种将方形单元划分变换为基数与 Catalan 数相关的划分集合的算法。
• 通过一个对合 $\tau_k$ 在划分集合上建立一个非同构的树结构，该结构与标准 Catalan 树不同。
• 将算法推广至双参数族，以生成大小为 ballot 数 $b_{\ell,m}$ 的集合，扩展 Catalan 情形。
• 推测在 $2\ell + m$ 个变量的对称函数模中，存在一个秩为 $b_{\ell,m-1}$ 的自由模，从而将组合学与表示理论联系起来。

提出的方法

• 在部分 $\leq k$ 的划分上定义一个映射 $\tau_k$，该映射将 $n \times k$ 矩形中划分的补集旋转 180 度。
• 对满足 $\lambda_1 = k$、$\lambda_k = 1$ 的方形单元划分 $\lambda$ 迭代应用该算法，生成划分的树结构。
• 使用代数技巧（而非组合双射）证明：经过 $\ell$ 次迭代后，集合的大小为 $c_{\ell-k+1}$ 或 $2c_{\ell-k+1}$。
• 通过修改初始条件并应用涉及 ballot 数的递推关系，将算法推广为双参数族。
• 证明 ballot 数的一个交错恒等式：$\sum_{j \geq 0} (-1)^j \binom{\ell - j}{j} b_{\ell - j, m} = \binom{m + \ell}{\ell}$。
• 构造一个在对称函数环 $\Lambda_r$ 上的模 $\mathbf{M}(\ell,m)$，其由 $\mathbf{p}(\mu)$ 生成，并推测其具有由 $\cal P^\ell(\Omega_m)$ 索引的基，从而为自由模。

实验结果

研究问题

• RQ1 对一个方形单元划分迭代应用该算法后，所生成的划分集合具有何种结构？
• RQ2 对合 $\tau_k$ 如何在划分树中诱导对偶性？为何由此产生的树与标准 Catalan 树不同？
• RQ3 该算法能否推广至生成大小为 ballot 数 $b_{\ell,m}$ 的集合？
• RQ4 这些划分集合的组合学性质与 $\mathfrak{sl}_2$ 及仿射李代数的表示理论之间存在何种联系？
• RQ5 如所猜想，$\Lambda_r$-模 $\mathbf{M}(\ell,m)$ 是否为秩 $b_{\ell,m-1}$ 的自由模？

主要发现

• 对满足 $\lambda_1 = k$ 且 $\lambda_k = 1$ 的方形单元划分 $\lambda$ 迭代应用该算法 $\ell$ 次，可得到大小为 $c_{\ell-k+1}$（自对偶情形）或 $2c_{\ell-k+1}$（否则）的划分集合。
• 该算法在划分上定义了一个有根、有序的树结构，且该结构与经典 Catalan 树不同构。
• 推广后的算法生成 $m$ 棵有根有序树，所生成划分的总数为 ballot 数 $b_{\ell,m}$。
• 证明了 ballot 数的一个交错恒等式：$\sum_{j \geq 0} (-1)^j \binom{\ell - j}{j} b_{\ell - j, m} = \binom{m + \ell}{\ell}$。
• 在 $\ell = 1,2$ 和 $\ell = 3,4$ 且 $m = 0,1,2$ 的情形下，该猜想已验证，支持模 $\mathbf{M}(\ell,m)$ 的自由性。
• 推测模 $\mathbf{M}(\ell,m)$ 是在 $2\ell + m$ 个变量的对称函数环上秩为 $b_{\ell,m-1}$ 的自由模。