[论文解读] Square-roots and Lax-pairs for supersymmetrizable systems

Jens Hoppe|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2020

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 4

一句话总结

本文证明了可超对称化的玻色哈密顿量——特别是膜的矩阵模型和约化的杨-米尔斯理论——自然地具有拉克斯对和哈密顿量的平方根。关键结果是拉克斯算符 $ L_\beta $ 满足 $ L_\beta L_{\beta'} + L_{\beta'} L_\beta = 2\delta_{\beta\beta'} H \mathbf{1} + \text{附加项} $，并通过拉克斯方程 $ \dot{L}_\beta = [L_\beta, M] $ 演化，表明在可超对称化系统中具有可积性和谱守恒性。

ABSTRACT

Several examples are given illustrating the (presumably rather general) fact that bosonic Hamiltonians that are supersymmetrizable automatically possess Lax-pairs, and square-roots.

研究动机与目标

• 建立可超对称化系统与拉克斯对及哈密顿量平方根存在性之间的一般联系。
• 证明在 D=4,5,7,11 维度中从超杨-米尔斯理论约化而来的 D-膜膜矩阵模型自然地容纳拉克斯结构。
• 探讨克利福德代数结构和常数格拉斯曼矩阵在构造拉克斯算符和守恒量中的作用。
• 通过算符关系 $ P^\beta_{\alpha a} = A_{\alpha a,\alpha' a'} Q^\beta_{\alpha' a'} $ 探究自对偶解，将其与欧几里得空间中的标准自对偶方程联系起来。

提出的方法

• 使用动量 $ p_{ta} $、位置 $ x_{ta} $ 和常数格拉斯曼矩阵 $ \theta_{\alpha a} $ 构造拉克斯算符 $ L_\beta = V^\beta_{\alpha a} \theta_{\alpha a} = (P^\beta_{\alpha a} + Q^\beta_{\alpha a}) \theta_{\alpha a} $。
• 定义拉克斯矩阵 $ L\_\beta $，使得 $ L_\beta L_{\beta'} + L_{\beta'} L_\beta = 2\delta_{\beta\beta'} H \mathbf{1} + 2\gamma^t_{\beta\beta'} x_{ta} J_a $，其中 $ J_a $ 为 SU(N) 电流。
• 通过 $ \dot{L}_\beta = [L_\beta, M] $ 推导 $ L_\beta $ 的时间演化，其中 $ M = \frac{1}{2} x_{tc} f_{abc} \gamma^t_{\alpha\beta} \theta_{\alpha a} \theta_{\beta b} $。
• 在经典运动方程 $ \dot{x}_{sb} = p_{sb} $，$ \dot{p}_{sb} = -\partial H / \partial x_{sb} $ 下验证拉克斯方程成立。
• 引入第二类模型，使用势能 $ W(x_1,\dots,x_n) $，其中拉克斯算符为 $ L_1 = \sum_k (f_k p_k - g_k \partial_k W) $，$ L_2 = \sum_k (g_k p_k + f_k \partial_k W) $，满足 $ \{L_\beta, L_{\beta'}\} = 2(\vec{p}^2 + (\vec{\nabla}W)^2) \mathbf{1} $。
• 在经典动力学下确认拉克斯方程 $ \dot{L}_\beta = [L_\beta, M] $ 成立，其中 $ M = -f_k g_l \partial^2_{kl} W $。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个可超对称化的玻色哈密顿量是否都具有拉克斯对和平方根？
• RQ2 拉克斯结构能否直接从矩阵模型的超对称化过程推导得出？
• RQ3 克利福德代数结构和常数格拉斯曼矩阵在构造拉克斯算符中起什么作用？
• RQ4 自对偶解是否自然地从拉克斯算符代数中出现，且是否能恢复标准自对偶方程？
• RQ5 由 $ \text{Tr}(L(\vec{\lambda}))^k $ 得到的守恒量是否函数独立，还是受拉克斯代数约束？

主要发现

• 拉克斯算符 $ L_\beta $ 满足 $ L_\beta L_{\beta'} + L_{\beta'} L_\beta = 2\delta_{\beta\beta'} H \mathbf{1} + 2\gamma^t_{\beta\beta'} x_{ta} J_a $，表明在 $ J_a = 0 $ 的 SU(N) 不变子空间中，有 $ L_\beta^2 = H \cdot \mathbf{1} $。
• 拉克斯算符 $ L_\beta $ 的时间演化由拉克斯方程 $ \dot{L}_\beta = [L_\beta, M] $ 控制，其中 $ M = \frac{1}{2} x_{tc} f_{abc} \gamma^t_{\alpha\beta} \theta_{\alpha a} \theta_{\beta b} $，确认了系统的可积性。
• 对于势能模型，拉克斯算符 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ 满足 $ \{L_\beta, L_{\beta'}\} = 2(\vec{p}^2 + (\vec{\nabla}W)^2) \mathbf{1} $，且拉克斯方程在 $ M = -f_k g_l \partial^2_{kl} W $ 下成立。
• 经典运动方程意味着 $ \dot{V}^\beta_{\alpha a} = \Omega_{\alpha a,\alpha' a'} V^\beta_{\alpha' a'} $，其中 $ \Omega_{\alpha a,\alpha' a'} = -f_{aba'} \gamma^s_{\alpha\alpha'} x_{sb} $，将动力学与拉克斯演化联系起来。
• 算符关系 $ P^\beta_{\alpha a} = A_{\alpha a,\alpha' a'} Q^\beta_{\alpha' a'} $，其中 $ A $ 满足 $ A\Omega A = \Omega $，暗示了自对偶解的自然试探解，当 $ \gamma = -\mathbf{1} \times \epsilon $ 时，可恢复 $ \mathbb{R}^4 $ 中的标准自对偶方程。
• 守恒量 $ \text{Tr}(L(\vec{\lambda}))^k $ 由于代数恒等式 $ L_\beta L_{\beta'} + L_{\beta'} L_\beta = 2\delta_{\beta\beta'} H \mathbf{1} + \cdots $ 而函数相关，表明不变量谱存在退化。