[论文解读] Square-tiled surfaces and rigid curves on moduli spaces

Dawei Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 10

一句话总结

该论文通过正方形铺砌曲面的阿贝尔-雅可比映射，证明了在偶数 $n$ 时，稳定 $n$-点有理曲线的模空间中存在无穷多条刚性曲线。这些曲线在移动曲线锥中张成相同的极射线，且在 Zariski 拓扑下是稠密的。此外，论文还揭示了 Teichmüller 曲线的斜率与 Hodge 线丛的 Lyapunov 指数之和之间存在一一对应关系，从而深化了对曲线模空间上有效除子的理解。

ABSTRACT

This work is motivated by two central questions in the birational geometry of moduli spaces of curves -- Fulton's conjecture and the effective cone of $\bar M_g$. We study the algebro-geometric aspect of Teichmuller curves parameterizing square-tiled surfaces with two applications: (a) there exist infinitely many rigid curves on the moduli space of hyperelliptic curves, they span the same extremal ray of the cone of moving curves and their union is Zariski dense, hence they yield infinitely many rigid curves with the same properties on the moduli space of stable n-pointed rational curves for even n; (b) the limit of slopes of Teichmuller curves and the sum of Lyapunov exponents of the Hodge bundle determine each other, by which we can have a better understanding for the cone of effective divisors on the moduli space of curves.

研究动机与目标

• 通过正方形铺砌曲面构造的 Teichmüller 曲线，研究稳定带点有理曲线与亏格 $g$ 曲线模空间的双有理几何。
• 证明在 $\overline{M}_{0,n}$ 上，当 $n$ 为偶数时，存在无穷多条刚性曲线，且它们在移动曲线锥中张成相同的极射线。
• 建立 Teichmüller 曲线的斜率与 Hodge 线丛 Lyapunov 指数之和之间的对偶关系。
• 通过该对偶关系及正方形铺砌曲面的几何性质，理解 $\overline{M}_g$ 上有效除子的结构。

提出的方法

• 将 Teichmüller 曲线 $\mathcal{T}_{d,\mu,i}^{hyp}$ 构造为 1 维 Hurwitz 空间，参数化具有唯一分支点和分支类型 $\mu$ 的度数为 $d$ 的椭圆曲线的连通覆盖，利用正方形铺砌曲面。
• 通过周期映射证明正方形铺砌曲面在 $\mathcal{H}(\mu)$ 中具有整数坐标，从而实现代数 Teichmüller 曲线的构造。
• 应用态射 $h: \mathcal{T}_{d,\mu,i}^{hyp} \to \overline{H}_g \cong \widetilde{M}_{0,2g+2}$ 将曲线映射到双椭圆曲线的模空间，并证明其像在 Zariski 拓扑下是稠密的。
• 利用单值性准则对 $\mathcal{T}_{d,\mu}$ 的不可约分支进行分类，其对应于 $SL(2,\mathbb{Z})$-轨道。
• 使用 Siegel-Veech 常数计算 Teichmüller 曲线的斜率 $s_\mu$，并通过公式 $s_\mu = \frac{6}{\pi^2} \sum \lambda_i$ 将其与 Hodge 线丛的 Lyapunov 指数之和关联起来。
• 利用有限态射 $e: \mathcal{T}_{d,\mu,i} \to \overline{M}_{1,1}$ 分析度数 $N_{d,\mu,i}$，并研究曲线分支的几何结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\overline{M}_{0,n}$ 上，当 $n$ 为偶数时，是否存在无穷多条刚性曲线？它们是否在移动曲线锥中张成相同的极射线？
• RQ2 映射 $h$ 下 Teichmüller 曲线的像的并集是否在 $\overline{H}_g \cong \widetilde{M}_{0,2g+2}$ 中是 Zariski 稠密的？
• RQ3 Teichmüller 曲线的斜率能否由 Hodge 线丛的 Lyapunov 指数之和唯一确定，反之亦然？
• RQ4 正方形铺砌曲面的几何不变量（如分支类型与单值性）如何决定相应 Teichmüller 曲线的结构？

主要发现

• 当 $\mu = (2g-2)$ 或 $(g-1,g-1)$ 时，所有 $d,i$ 的 $h(\mathcal{T}_{d,\mu,i}^{hyp})$ 的并集在 $\overline{H}_g \cong \widetilde{M}_{0,2g+2}$ 中是 Zariski 稠密的，其在 $\overline{M}_{0,2g+2}$ 中的原像也是 Zariski 稠密的。
• 在 $\overline{M}_{0,n}$ 上，当 $n$ 为偶数时，存在无穷多条刚性曲线，且它们在移动曲线锥中张成相同的极射线。
• Teichmüller 曲线的斜率 $s_\mu$ 由公式 $s_\mu = \frac{6}{\pi^2} \sum_{i=1}^{g} \lambda_i$ 给出，其中 $\lambda_i$ 为 Hodge 线丛的 Lyapunov 指数。
• 当 $g=6$ 时，$\mathcal{H}^{odd}(2,2,2,2,2)$ 的斜率 $s_\mu$ 约为 6.88119，而 $\mathcal{H}^{odd}(4,2,2,2)$ 的斜率约为 6.98186，表明不同 strata 之间存在差异。
• Lyapunov 指数之和与 Teichmüller 曲线的斜率之间存在一一对应关系，使得斜率可由 Lyapunov 数据计算，反之亦然。
• 论文计算了所有满足 $g \leq 6$ 的 strata $\mathcal{H}(\mu)$ 的 $s_\mu$ 显式值，包括 $\mathcal{H}(5,1,1,1)$ 的 $s_\mu \approx 7.65324$ 和 $\mathcal{H}^{hyp}(10)$ 的 $s_\mu \approx 8.66667$。