[论文解读] Squared quadratic Wasserstein distance : optimal couplings and Lions differentiability

Aurélien Alfonsi, Benjamin Jourdain|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文证明了平方二次 Wasserstein 距离 $W_2^2(\mu,\nu)$ 的任意最优耦合可分解为一个鞅耦合与一个最优传输映射 $\mathcal{T}$ 的复合，并证明了 $\sigma \mapsto W_2^2(\sigma,\nu)$ 在 $\mu$ 处为 Lions 可微当且仅当存在由映射给出的唯一最优耦合。该等价关系解决了最优传输理论中一个关键的可微性条件，并提供了概率论证明，表明 law-invariant 泛函的 Fréchet 可微性蕴含可测梯度。

ABSTRACT

In this paper, we remark that any optimal coupling for the quadratic Wasserstein distance $W^2_2(\\mu,\ u)$ between two probability measures $\\mu$ and $\ u$ with finite second order moments on $\\mathbb{R}^d$ is the composition of a martingale coupling with an optimal transport map ${\\mathcal T}$. We check the existence of an optimal coupling in which this map gives the unique optimal coupling between $\\mu$ and ${\\mathcal T}\\#\\mu$. Next, we give a direct proof that $\\sigma\\mapsto W_2^2(\\sigma,\ u)$ is differentiable at $\\mu$ in the Lions sense iff there is a unique optimal coupling between $\\mu$ and $\ u$ and this coupling is given by a map. It was known combining results by Ambrosio, Gigli and Savar\\'e and Ambrosio and Gangbo that, under the latter condition, geometric differentiability holds. Moreover, the two notions of differentiability are equivalent according to the recent paper of Gangbo and Tudorascu. Besides, we give a self-contained probabilistic proof that mere Fr\\'echet differentiability of a law invariant function $F$ on $L^2(\\Omega,\\mathbb{P};\\mathbb{R}^d)$ is enough for the Fr\\'echet differential at $X$ to be a measurable function of $X$.

研究动机与目标

• 刻画平方二次 Wasserstein 距离 $W_2^2(\mu,\nu)$ 的最优耦合结构。
• 建立 $W_2^2(\cdot,\nu)$ 在 $\mu$ 处的 Lions 可微性与由映射给出的唯一最优耦合存在的等价性。
• 提供一个自包含的概率论证明，表明 $L^2$ 上 law-invariant 泛函的 Fréchet 可微性蕴含其梯度为可测函数。
• 阐明几何可微性、Lions 可微性与最优传输映射唯一性之间的关系。

提出的方法

• 将任意最优耦合 $\pi$ 分解为 $\mathcal{T}\#\mu$ 与 $\nu$ 之间的鞅耦合，再与从 $\mu$ 到 $\mathcal{T}\#\mu$ 的传输映射 $\mathcal{T}$ 复合。
• 利用测度的分解与马尔可夫核 $k(x,dy)$ 下的偏差-方差分解推导耦合结构。
• 应用模拟基本定理，在无原子概率空间上构造具有等价分布的随机变量。
• 利用无原子概率空间之间的几乎同构性，将可微性结果从提升空间传递至其他空间。
• 借助 Gangbo 与 Tudorascu (2020) 的结果，将 Lions 可微性等价于几何可微性，并识别出 Wasserstein 梯度。
• 应用引理 2.4 表明，提升泛函的 Fréchet 微分是其底层随机变量的可测函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，平方二次 Wasserstein 距离 $W_2^2(\mu,\nu)$ 关于 $\mu$ 为 Lions 可微？
• RQ2 是否可以将 $W_2^2(\mu,\nu)$ 的最优耦合结构分解为一个传输映射与一个鞅耦合？
• RQ3 在 $L^2$ 上，law-invariant 泛函的 Fréchet 可微性是否足以保证其微分是底层随机变量的可测函数？
• RQ4 Lions 可微性、几何可微性与最优传输映射的唯一性之间有何关系？
• RQ5 $W_2^2(\cdot,\nu)$ 的 $L$-可微性是否依赖于底层无原子概率空间的选择？

主要发现

• 任何 $W_2^2(\mu,\nu)$ 的最优耦合均为 $\mathcal{T}\#\mu$ 与 $\nu$ 之间的鞅耦合，与从 $\mu$ 到 $\mathcal{T}\#\mu$ 的映射 $\mathcal{T}$ 的复合。
• 在 $\mu$ 与 $\nu$ 之间存在由映射给出的唯一最优耦合，当且仅当 $\sigma \mapsto W_2^2(\sigma,\nu)$ 在 $\mu$ 处为 Lions 可微。
• $L^2(\Omega,\mathbb{P};\mathbb{R}^d)$ 上 law-invariant 泛函 $F$ 的 Fréchet 可微性，意味着其在 $X$ 处的 Fréchet 微分是 $X$ 的可测函数。
• $f$ 在 $\mu$ 处的 $L$-可微性与无原子概率空间 $\Omega$ 的选择无关，其导数由 Wasserstein 梯度 $\nabla_\mu f$ 给出。
• $W_2^2(\cdot,\nu)$ 在 $\mu$ 处的 Lions 可微性等价于几何可微性，且两者均等价于由映射给出的唯一最优耦合的存在性。
• $\mu$ 处的 Wasserstein 梯度 $\nabla_\mu f$ 是 $f$ 在几何意义下的上、下微分中的唯一元素，从而确认了导数的唯一性。