[论文解读] Squarefree values of polynomial discriminants I

Manjul Bhargava, Arul Shankar+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用 45

一句话总结

本文建立了首一整系数多项式（次数 $n > 1$）具有无平方判别式的自然密度为正，证明该自然密度等于对所有素数的乘积 $ \lambda_n = \prod_p \lambda_n(p)$，其中 $ \lambda_n(p)$ 是 $p$-进意义下判别式不被 $p^2$ 整除的首一多项式的 $p$-进密度。此外，本文还证明了首一多项式 $f(x)$ 满足 $\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ 是其分式域中整闭包的密度为 $ \zeta(2)^{-1} \approx 60.79\%$，并推导出此类多项式及单生成数域的渐近计数中具有幂次误差项。

ABSTRACT

We determine the density of monic integer polynomials of given degree $n>1$ that have squarefree discriminant; in particular, we prove for the first time that the lower density of such polynomials is positive. Similarly, we prove that the density of monic integer polynomials $f(x)$, such that $f(x)$ is irreducible and $\mathbb Z[x]/(f(x))$ is the ring of integers in its fraction field, is positive, and is in fact given by $ζ(2)^{-1}$. It also follows from our methods that there are $\gg X^{1/2+1/n}$ monogenic number fields of degree $n$ having associated Galois group $S_n$ and absolute discriminant less than $X$, and we conjecture that the exponent in this lower bound is optimal.

研究动机与目标

• 在高度排序 $H(f) = \max\{|a_i|^{1/i}\}$ 下，确定首一整系数多项式（次数 $n > 1$）具有无平方判别式的自然密度。
• 证明首一整系数多项式 $f(x)$ 满足 $\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ 是其分式域中整闭包的密度为 $\zeta(2)^{-1}$，且该结果与 $n$ 无关。
• 建立首一 $S_n$-数域（次数 $n$，绝对判别式小于 $X$）的单生成数域数量的下界 $\gg X^{1/2 + 1/n}$，并推测该指数为最优。
• 证明此类多项式及数域的渐近计数具有幂次误差项，优于此前的界限。

提出的方法

• 定义首一多项式 $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n$ 的高度为 $H(f) = \max\{|a_i|^{1/i}\}$，并以此作为计数的排序参数。
• 对每个素数 $p$，计算 $\mathbb{Z}_p$ 上首一多项式中判别式不被 $p^2$ 整除的 $p$-进密度 $\lambda_n(p)$，并定义 $\lambda_n = \prod_p \lambda_n(p)$。
• 利用中国剩余定理与容斥原理，通过乘积公式将局部 $p$-进条件提升为全局密度。
• 应用 Davenport-Heilbronn 方法与 $p$-进积分技术，对所有素数满足局部条件的多项式进行计数，且误差项具有幂次衰减。
• 通过变换 $x \mapsto x + c$ 将问题约化为 $x^{n-1}$ 系数为零的多项式，从而保证数域表示的唯一性。
• 利用无平方判别式蕴含最大阶与 $S_n$-伽罗瓦群的性质，将判别式条件与单生成性及数域计数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高度排序下，首一整系数多项式（次数 $n > 1$）具有无平方判别式的自然密度是多少？
• RQ2 首一整系数多项式 $f(x)$（次数 $n > 1$）中，满足 $\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ 是其分式域中整闭包的比例是多少？
• RQ3 绝对判别式小于 $X$ 的首一 $S_n$-数域（次数 $n$）有多少个？
• RQ4 对上述单生成 $S_n$-数域数量的下界 $\gg X^{1/2 + 1/n}$ 是否可改进，或可证明其为最优？
• RQ5 具有无平方判别式的首一多项式的渐近行为如何？误差项随 $X$ 的变化尺度如何？

主要发现

• 次数为 $n$ 的首一整系数多项式中，具有无平方判别式的密度为 $\lambda_n = \prod_p \lambda_n(p) > 0$，且当 $n \to \infty$ 时 $\lambda_n \to \lambda \approx 30.7056\%$。
• 首一整系数多项式 $f(x)$ 满足 $\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ 是其分式域中整闭包的密度恰好为 $\zeta(2)^{-1} \approx 60.7927\%$，且该结果与 $n$ 无关。
• 高度满足 $H(f) < X$ 且具有无平方判别式的首一整系数多项式数量为 $\lambda_n \cdot 2^n X^{n(n+1)/2} + O_\varepsilon(X^{n(n+1)/2 - 1/5 + \varepsilon})$。
• 绝对判别式小于 $X$ 的首一 $S_n$-数域（次数 $n$）的单生成数域数量为 $\gg X^{1/2 + 1/n}$，作者推测该指数为最优。
• 高度 $\leq Y$ 且具有无平方判别式与 $x^{n-1}$ 系数为零的首一多项式数量为 $\gg Y^{(n-1)(n+2)/2}$，由此可推出 $s(K)$ 较小的数域数量的下界。
• 绝对判别式小于 $X$ 的单生成 $S_n$-数域的渐近计数猜想为 $\frac{nC_n}{2\zeta(2)} X^{1/2 + 1/n}$，其中 $C_n$ 是 $\mathbb{R}^{n-1}$ 中某区域的体积。