[论文解读] Squarefree values of polynomial discriminants II

Manjul Bhargava, Arul Shankar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2022

Analytic Number Theory Research被引用 4

一句话总结

该论文首次为整系数二元 $n$-次型在判别式无平方因子时建立了正的自然密度，证明了该密度的存在性，并显式计算了所有 $n \geq 2$ 的情况。此外，论文还确定了其关联环为数域中最大整环的型的密度，证明了 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$ 上的算术 Bertini 定理，并改进了有界判别式下 $S_n$-型数域数量的下界。

ABSTRACT

We determine the density of integral binary forms of given degree that have squarefree discriminant, proving for the first time that the lower density is positive. Furthermore, we determine the density of integral binary forms that cut out maximal orders in number fields. The latter proves, in particular, an ``arithmetic Bertini theorem'' conjectured by Poonen for $\mathbb{P}^1_\mathbb{Z}$. Our methods also allow us to prove that there are $\gg X^{1/2+1/(n-1)}$ number fields of degree~$n$ having associated Galois group~$S_n$ and absolute discriminant less than $X$, improving the best previously known lower bound of $\gg X^{1/2+1/n}$. Finally, our methods correct an error in and thus resurrect earlier (retracted) results of Nakagawa on lower bounds for the number of totally unramified $A_n$-extensions of quadratic number fields of bounded discriminant.

研究动机与目标

• 确定按高度排序的整系数二元 $n$-次型中，判别式无平方因子的自然密度，其中 $n \geq 2$。
• 计算关联环 $R_f$ 为其分式域中最大整环的不可约整系数二元 $n$-次型的密度。
• 为 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$ 建立一个无需假设的算术 Bertini 定理，证实 Poonen 的一个猜想。
• 改进有界绝对判别式下，伽罗瓦群为 $S_n$ 的 $n$-次数域数量的下界。
• 通过修正其分析中的错误，恢复 Nakagawa 关于二次域上 $A_n$-扩张的早期结果的有效性。

提出的方法

• 使用 $p$-进与局部密度方法，计算在每个素数 $p$ 处为最大型的二元 $n$-次型的比例，利用 Hensel 引理及模 $p$ 因式分解的提升技术。
• 应用筛法技术，通过组合所有素数处的局部密度，控制判别式为无平方因子的型的全局密度。
• 提出一种针对关联环 $R_f$ 为最大整环的型的改进计数方法，基于模 $p$ 的约化类型及判别式在 $p$-进提升下的行为分析。
• 通过根据系数的 $p$-进赋值与模 $p$ 下的因式分解类型分解型的空间，利用 $p$-进分析结果，计算在 $p$ 处为最大型的局部密度 $\beta_n(p)$。
• 利用素数上的乘积公式推导无平方因子判别式与最大整环的全局密度，结合欧拉乘积与 zeta 函数恒等式。
• 通过改进 $A_n$-扩张的局部密度计算，修正 Nakagawa 早期工作中存在的错误，使他关于二次域上无分歧 $A_n$-扩张的结果重新有效。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \geq 2$，按高度排序的整系数二元 $n$-次型中，判别式无平方因子的自然密度是多少？
• RQ2 关联环 $R_f$ 为其分式域中最大整环的不可约整系数二元 $n$-次型的密度是多少？
• RQ3 是否存在 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$ 上的算术 Bertini 定理，即正则超平面截面的密度是否等于 $\zeta(2)^{-1}\zeta(3)^{-1}$？
• RQ4 有界绝对判别式下，$n$-次数域中伽罗瓦群为 $S_n$ 的数域数量的最优已知下界是多少？
• RQ5 Nakagawa 关于二次域上无分歧 $A_n$-扩张的错误结果能否被修正并恢复？

主要发现

• 整系数二元 $n$-次型中判别式无平方因子的密度存在，并显式计算为素数上的欧拉乘积，其值在 $n=2$ 时约为 38.97%，$n=3$ 时约为 24.64%，$n=4$ 时约为 21.18%，$n \geq 5$ 时约为 20.83%。
• 关联环 $R_f$ 为其分式域中最大整环的不可约二元 $n$-次型的密度为 $\zeta(2)^{-1}\zeta(3)^{-1} \approx 50.57\%$（当 $n \geq 3$ 时），$n=2$ 时约为 53.59%，从而证明了 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$ 上的算术 Bertini 定理。
• 绝对判别式小于 $X$ 的 $S_n$-型数域数量满足 $\gg X^{1/2 + 1/(n-1)}$，优于先前的下界 $\gg X^{1/2 + 1/n}$。
• 该论文修正了 Nakagawa 在二次域上 $A_n$-扩张工作中的错误，使 [19] 中定理 3–4 与 [21] 中定理 2 对于无分歧 $A_n$-扩张的结果重新有效。
• 在 $p$ 处为最大型的局部密度 $\beta_n(p)$ 计算为：当 $n \geq 3$ 时为 $\left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\left(1 - \frac{1}{p^3}\right)$，当 $n=2$ 时为 $\left(1 - \frac{1}{p}\right)\left(1 + \frac{1}{p} - \frac{1}{p^3}\right)$，这是全局密度计算的基础。
• 主下界结果中构造的所有数域均可取为判别式无平方因子，从而将无平方因子判别式与最大整环的结果联系起来。