[论文解读] Squares and Cubes Modulo n

Steven R. Finch, Pascal Sebah|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2006

Mathematics and Applications参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文使用 Selberg-Delange 方法处理狄利克雷级数，研究了模 n 的平方、立方及单位根的渐近分布。通过推导 ℤₙ 和 ℤₙ* 中二次剩余、三次剩余以及 x² ≡ 1 mod n 和 x³ ≡ 0 mod n 等方程解的平均数量的精确渐近公式，得到了涉及 ζ(2)、π 以及等差数列中素数上的欧拉乘积的显式常数。

ABSTRACT

We study the asymptotics of the average number of squares (or quadratic residues) in Z_n and Z_n^*. Similar analyses are performed for cubes, square roots of 0 and 1, and cube roots of 0 and 1.

研究动机与目标

• 系统分析当 n 取任意正整数时，ℤₙ 和 ℤₙ* 中平方、立方及特殊解（如 x² ≡ 1）的平均数量。
• 通过提供这些平均计数的显式渐近公式，填补文献中的空白，这些公式在标准参考书中并不易获得。
• 展示 Selberg-Delange 方法与狄利克雷级数技术在等差数列上算术函数中的应用。
• 计算并记录模 3 和 8 等等差数列中素数上的欧拉乘积的数值常数。
• 提供一个统一的计算框架，利用特征和与 L 函数高精度计算此类常数。

提出的方法

• 将 Selberg-Delange 方法应用于狄利克雷级数 ∑ φ(n)/n^{s+1}，以推导 ℤₙ* 中元素的渐近计数。
• 利用乘法函数与欧拉乘积，将 x² ≡ 1 mod n 和 x³ ≡ 1 mod n 的解的数量表示为 ω(n)（即不同素因子个数）的函数。
• 通过引入模 k = 2^m 或 3^m 的狄利克雷特征，将方法适配到等差数列中，以分离满足 n ≡ ℓ mod k 的 n。
• 构造狄利克雷 L-级数 L_χ(s) 及其相关生成函数 F_χ(s) = G_χ(s) · L_χ(s)^z，以建模解的渐近密度。
• 利用赫尔维茨 zeta 函数与莫比乌斯反演计算对数和 P_{k,ℓ}(s) = ∑_{p≡ℓ mod k} log(1 - f(p)/p^s)，从而实现对无穷乘积的高精度评估。
• 通过级数展开与截断实现数值加速，通过减去已知的初始项（如 p ≤ 31）提高收敛性，将常数如 ∏_{p≡1 mod 3} (1 - 2/(p(p+1))) 计算至 20 位以上小数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 n 遍历所有正整数时，ℤₙ* 中 x² ≡ 1 的解的平均数量是多少？
• RQ2 当 n 遍历所有正整数时，ℤₙ* 中 x³ ≡ 1 的解的平均数量是多少？
• RQ3 当 n 遍历所有正整数时，ℤₙ 中 x² ≡ 0 的解的平均数量是多少？
• RQ4 ℤₙ 和 ℤₙ* 中平方映射 y ↦ y² 的像的平均数量是多少？
• RQ5 ℤₙ 和 ℤₙ* 中立方映射 y ↦ y³ 的像的平均数量是多少？

主要发现

• ℤₙ* 中 x² ≡ 1 的解的平均数量在 N → ∞ 时渐近为 (6/π²) · N · ln N。
• 当 n ≡ 1, 3, 4, 5, 7 mod 8 时，ℤₙ* 中 x² ≡ 1 的解的数量为 2^{ω(n)}；当 n ≡ 2, 6 mod 8 时，为 2^{ω(n)−1}；当 n ≡ 0 mod 8 时，为 2^{ω(n)+1}。
• ℤₙ* 中 x³ ≡ 1 的解的平均数量渐近为 (1/ζ(3)) · N · (ln N)^{1/2} / Γ(1/2)，其中包含 L-函数的常数因子。
• ℤₙ 中平方映射 y ↦ y² 的像的平均数量渐近为 (3/π²) · N²，与 ∑_{n≤N} φ(n) 的已知渐近公式一致。
• ℤₙ* 中立方映射 y ↦ y³ 的像的平均数量渐近正比于 N · (ln N)^{1/3} / Γ(1/3)，该结果由 Selberg-Delange 方法应用于三次剩余导出。
• 常数 C = ∏_{p≡1 mod 3} (1 - 2/(p(p+1))) 被计算至 20 位小数，结果为 0.941034941319535451790...，基于 P_{3,1}(s) 的高精度评估与级数加速。