[论文解读] Squares in Polynomial Product Sequences

Paul Spiegelhalter, Joseph Vandehey|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文研究了当 $ F(n) $ 为整系数且次数至少为 2 的多项式时，乘积序列 $ N_x = \prod_{n \leq x} F(n) $ 成为完全幂或平方自由数的频率。通过解析数论方法，包括 Turán 筛法和 Chebotarev 密度的界，作者证明此类乘积仅对 $ O(X^c) $ 个满足 $ x \leq X $ 的 $ x $ 是完全 $ p $-次幂，其中 $ c < 1 $；并针对首一不可约二次多项式情形，给出了 $ N_x $ 为平方自由数时的显式界。

ABSTRACT

Let F(n) be a polynomial of degree at least 2 with integer coefficients. We consider the products N_x=\prod_{1 \le n \le x} F(n) and show that N_x should only rarely be a perfect power. In particular, the number of x \le X for which N_x is a perfect power is O(X^c) for some explicit c&lt;1. For certain F(n) we also prove that for only finitely many x will N_x be squarefull and, in the case of monic irreducible quadratic F(n), provide an explicit bound on the largest x for which N_x is squarefull.

研究动机与目标

• 确定对于次数 ≥2 的多项式 $ F(n) $，乘积 $ N_x = \prod_{n \leq x} F(n) $ 成为完全幂或平方自由数的频率。
• 将先前针对特定多项式（如 $ n^2+1 $）的结果推广至更广泛的多项式类。
• 建立 $ x \leq X $ 时 $ N_x $ 为完全幂或平方自由数的个数的显式上界。
• 分析 $ F(n) $ 的结构，特别是其不可约因式分解形式，以确定 $ N_x $ 为平方自由数的情况是否仅有有限次发生。
• 为首一不可约二次多项式情形下 $ N_x $ 为平方自由数时最大的 $ x $ 提供有效且可计算的上界。

提出的方法

• 应用 Turán 筛法估计满足 $ F_k(x) = \prod_{i=1}^k F(x+i) $ 为完全 $ p $-次幂的 $ x \leq X $ 的个数。
• 利用 Chebotarev 密度定理的界和特征和估计，控制模某数下 $ F_k(n) $ 为 $ p $-次幂的素数分布。
• 使用 Brun-Titchmarsh 定理和 Pólya-Vinogradov 类型估计，对素数在算术级数中的和进行有界。
• 通过算术级数中素数定理的显式常数，推导出 $ \sum_{p \leq z, p \equiv a \pmod{q}} \frac{\log p}{p} $ 的有效界。
• 通过引理 5.21 的双重计数论证表明，若许多 $ x $ 使得 $ N_x $ 为完全 $ p $-次幂，则某些 $ F_k(n) $ 必须对许多 $ n $ 为 $ p $-次幂，这与筛法估计矛盾。
• 利用不可约因式的判别式和分裂类型结构，限制 $ N_x $ 为平方自由数的 $ x $ 的个数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于整系数且次数 ≥2 的多项式 $ F(n) $，乘积 $ N_x = \prod_{n \leq x} F(n) $ 为完全 $ p $-次幂的频率如何？
• RQ2 在 $ F(n) $ 的不可约因式分解下，满足 $ N_x $ 仅对有限多个 $ x $ 为平方自由数的条件是什么？
• RQ3 能否为 $ N_x $ 为平方自由数时最大的 $ x $ 提供显式上界，特别是当 $ F(n) $ 为首一不可约二次多项式时？
• RQ4 随着 $ X $ 增大，满足 $ x \leq X $ 且 $ N_x $ 为完全幂的 $ x $ 的个数如何增长？能否以 $ O(X^c) $ 形式有界，其中 $ c < 1 $？
• RQ5 不可约因式的首项系数和判别式在决定 $ N_x $ 成为完全幂或平方自由数的频率中起什么作用？

主要发现

• 对于任意整系数且次数 ≥2 的多项式 $ F(n) $，使得 $ N_x $ 为完全 $ p $-次幂的 $ x \leq X $ 的个数为 $ O(X^c) $，其中 $ c < 1 $ 为显式常数，且与 $ F $ 无关。
• 若 $ F(n) $ 不具有形式 $ sG(n)^p $（$ s $ 为有理数，$ G(n) \in \mathbb{Z}[n] $），则 $ N_x $ 为完全 $ p $-次幂的 $ x \leq X $ 的个数为 $ O(X^c) $，其中 $ c < 1 $。
• 对于首一不可约二次多项式 $ F(n) $，给出了 $ N_x $ 为平方自由数时最大 $ x $ 的显式上界，具体为 $ O(e^{C \cdot D}) $，其中 $ D $ 为判别式，$ C $ 为可有效计算的常数。
• 若 $ F(n) $ 可分解为满足特定首项系数和判别式条件的线性与二次因式，则 $ N_x $ 为平方自由数的情况仅有有限多个 $ x $，涵盖如两个或三个互异不可约二次因式的乘积等大类多项式。
• 该方法对 $ F(n) = n^2 + D $ 的情形也给出了有效界，表明 $ N_x $ 为平方自由数仅当 $ x \leq e^{C \cdot D} $，其中 $ C $ 可计算。
• 分析表明，在最坏情况下，使得 $ N_x $ 为完全 $ p $-次幂的 $ x \leq X $ 的个数被限制为 $ O(X^{1/25}) $，该界由筛法和计数论证导出。