[论文解读] Stabilisation de la formule des traces tordue I: endoscopie tordue sur un corps local

Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2014

Esophageal and GI Pathology参考文献 8被引用 16

一句话总结

本文为特征零局部域上的扭曲端李群理论奠定了基础，聚焦于扭曲迹公式稳定化的几何方面。它改用扭曲空间而非传统的拟分裂群 $G^*$ 来重新定义端李数据，引入了一种与辅助数据无关的典范极限构造以处理转移因子，并确保了稳定共轭的伽罗瓦等变性，从而为未来在扭曲情形下迹公式的完整稳定化提供了统一框架。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers devoted to the stabilization of the twisted trace formula. It is just an introduction. We present the local theory of twisted endoscopy, following the fundamental works of Kottwitz-Shelstad, Labesse and Shelstad. Our presentation is partly new because we try to give canonical definitions of the basic objects, which are more usually defined using auxiliary data. We prove also some results about the image of endoscopic transfer and about the dual transfer of stable distributions whose support is a finite set of stable conjugacy classes.

研究动机与目标

• 为特征零局部域上的扭曲端李群提供一个典范的几何框架，取代传统的 $G^*$ 方法。
• 解决由中间群如 $G^*$ 引起的非典范且非伽罗瓦等变的对应关系问题。
• 在所有辅助数据上定义转移因子的典范极限，确保其在数据变更下的不变性。
• 在扭曲空间及其相应端李群的稳定共轭类之间建立伽罗瓦等变的对应关系。
• 通过形式化几何测度及其转移，为扭曲迹公式的完整稳定化奠定基础。

提出的方法

• 引入扭曲空间 $\tilde{G}$ 作为经典对 $(G, \theta)$ 的替代，其中 $\theta$ 为自同构。
• 定义端李数据 $\mathbf{G}' = (G', \mathcal{G}', \tilde{s})$，并以典范方式构造端李群 $\tilde{G}'$。
• 以典范伽罗瓦模 $T^*$（即 $G$ 的最大环面，配备其自然伽罗瓦作用）取代中间的拟分裂群 $G^*$。
• 在所有辅助数据 $G'_1$ 上构造转移因子的极限归纳系统，从而得到典范对象 $C_c^\infty(\mathbf{G}')$。
• 利用萨塔克同构将极限代数 $\mathcal{H}'$ 与 $\widehat{\mathcal{H}}'$ 识别，从而实现对转移的几何解释。
• 定义 $\omega$-等变几何测度，并确定其在转移下的核，这对下降法与迹公式应用至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以保持伽罗瓦等变性并避免依赖非典范群如 $G^*$ 的方式，形式化扭曲端李群？
• RQ2 扭曲空间的典范端李数据构造是什么？它与经典科特维茨-谢尔斯塔德框架有何不同？
• RQ3 转移因子在辅助数据变更下如何行为？能否将其统一为单一典范对象？
• RQ4 在有限个稳定共轭类上支撑的几何测度的转移映射具有何种结构？
• RQ5 能否使用一种与辅助选择无关且尊重伽罗瓦作用的形式系统，实现扭曲迹公式的稳定化？

主要发现

• 本文通过不同数据集之间的同构，构造了端李群上函数空间的典范极限对象 $C_c^\infty(\mathbf{G}')$，且该对象与辅助数据无关。
• 证明了群 $G^*$ 不适合作为扭曲端李群的工具，因其无法提供 $\tilde{G}$ 与 $\tilde{G}^*$ 之间稳定共轭类的典范且伽罗瓦等变的对应关系。
• 识别出 $G$ 的最大环面 $T^*$（配备其自然伽罗瓦作用）为 $G^*$ 的关键替代，提供了典范且等变的结构。
• 证明了当在极限下考虑时，转移因子与辅助数据无关，从而实现了轨道积分的典范转移映射。
• 明确描述了端李数据自同构群在 $C_c^\infty(\mathbf{G}')$ 上的作用，包括通过特征标对函数产生非平凡作用。
• 刻画了 $\omega$-等变几何测度转移映射的核，并分析了其在哈里什-钱德拉下降下的行为，尤其在阿基米德情形下利用雷纳德与谢尔斯塔德的结果进行了研究。