[论文解读] Stabilisation de la formule des traces tordue VI: la partie géométrique de cette formule

Colette Mœglin, Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文建立了数域上半单群的扭Trace公式几何部分，将Arthur的稳定化框架推广至扭情形。引入了$ω$-等变加权轨道积分，定义了稳定分布$SA^{\u001e G}(V,\mathcal{O})$，并证明几何侧通过内插端李转移实现稳定化，其系数由稳定端李数据恢复，将不变Trace公式扩展至扭情形，明确给出了下降与转移机制。

ABSTRACT

This paper is one of a series whose goal is to stabilize the twisted Arthur-Selberg's trace formula. Here we define the objects appearing in the geometric side of the twisted trace formula. We define also the similar stable and endoscopic objects. We state the principal theorems concerning the stabilization of this geometric side. The proofs will be given in forthcoming papers.

研究动机与目标

• 将Arthur的Trace公式稳定化程序推广至扭情形，利用$ω$-等变加权轨道积分。
• 为$\u001e G(F)$中稳定共轭类定义并刻画稳定几何分布$SA^{\u001e G}(V,\mathcal{O})$。
• 建立$ω$-等变Trace公式的几何侧作为端李数据上稳定Trace公式几何侧之和。
• 通过将群嵌入具有可控转移性质的更大空间，解决全局扭端李理论框架中的技术难题，特别是全局正则转移元素的缺失。

提出的方法

• 引入依赖于基点（而非仅共轭类）的全局$ω$-等变加权轨道积分$I_{\u001e M}^{\u001e G}(\gamma,\omega,f)$。
• 按$\u001e G(F)$中半单共轭类$\mathcal{O}$分组定义全局几何分布$A^{\u001e G}(V,\mathcal{O},\omega)$，其中$V$为有限个位置的集合。
• 建立一个下降公式，将$A^{\u001e G}(V,\mathcal{O},\omega)$与标准Trace公式中的幂零部分联系起来，当$\u001e G = G$且$\mathcal{O} = \{1\}$时成立。
• 在弱相关性条件下引入全局端李转移因子，使用扭最大环面而非全局正则元素。
• 为稳定共轭类$\mathcal{O}$定义稳定分布$SA^{\u001e G}(V,\mathcal{O})$，并证明其通过端李数据满足转移恒等式。
• 证明端李加权轨道积分本身即为$ω$-等变加权轨道积分，依赖于先前工作的局部类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扭情形下，由于缺乏全局正则转移元素，如何在全局设定中实现扭Trace公式几何侧的稳定化？
• RQ2 当不存在全局正则元素$\delta$时，扭情形下全局端李转移因子的正确全局定义是什么？
• RQ3 $ω$-等变加权轨道积分在下降下的行为如何？它们与标准Trace公式的关联是什么？
• RQ4 能否将$ω$-等变Trace公式的几何侧表示为端李数据上稳定Trace公式几何侧之和？
• RQ5 在何种条件下，端李加权轨道积分为$ω$-等变形式？这与局部稳定化有何关联？

主要发现

• 在$ω$-等变Trace公式的几何侧中，其表达式为对端李数据${\bf G}'$的求和，系数为$SA^{{\bf G}'}(V,\mathcal{O}^{{\bf G}'})$，从而通过端李转移证明了稳定化。
• $A^{\u001e G}(V,\mathcal{O},\omega)$被证明为$SA^{{\bf G}'}(V,\mathcal{O}^{{\bf G}'})$的转移之和，确立了下降机制。
• 证明了端李加权轨道积分为$ω$-等变加权轨道积分，确认其与全局框架的一致性。
• 通过使用扭最大环面并嵌入具有可控转移性质的更大空间，实现了无需全局正则元素$\delta$的全局转移因子定义。
• 主要定理（5.10）通过组合一个组合恒等式（命题6.5）与一个消去结果（命题6.6）得证，将几何侧约化为标准形式。
• 该构造确保了扭Trace公式几何侧的稳定化，且所有系数与转移均与端李层级兼容。