[论文解读] Stabilisation de la formule des traces tordue VIII: l'application epsilon_tilde{M} sur un corps de base local non-archimédien

Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2014

Holomorphic and Operator Theory被引用 4

一句话总结

本文证明了在 $\tilde{M}(F)$ 上存在一个取值于 $\tilde{M}$-不变测度的典范函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$，使得在扭群 $\tilde{G}$ 上，内播与几何加权轨道积分之间的差等于 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 的未加权轨道积分。该函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 被证明为施瓦茨型，并在某个紧开子群下局部双不变，从而使得可以运用迹公式技术，最终在非阿基米德情形下证明扭迹公式的稳定化。

ABSTRACT

It is a step in the proof of the stabilization of the twisted trace formula. We generalize to the twisted case the proposition 3.1 of the third Arthur's paper on the stabilization. That is, consider the difference between an omega-equivariant weighted orbital integral (relative to a Levi subspace of a twisted space) and its endoscopic avatar. Then this difference is the ordinary omega-orbital integral of some function on the Levi subspace. Here, the base-field is non-archimedean.

研究动机与目标

• 建立 $\tilde{M}(F)$ 上函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 的存在性，使得在 $\tilde{G}$ 上内播与几何加权轨道积分之间的差等于 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 的未加权轨道积分。
• 确保 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 具有充分的正则性与衰减性质——具体而言，其在 $M(F)$ 的某个紧开子群下局部双不变，并且在映射 $\tilde{H}_{\tilde{M}}$ 下的纤维上具有紧支集——以保证其轨道积分的定义。
• 证明 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 为施瓦茨型，以确保其在后续迹公式应用中收敛性与解析控制。
• 通过构造一个轨道积分能捕捉内播项与几何项之间差异的函数，为在非阿基米德情形下稳定扭迹公式奠定基础。
• 通过单位分解将两种构造——一种在半单元素附近局部且紧支集，另一种全局具有良好衰减性——结合，得到一个全局行为良好的函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$。

提出的方法

• 定义扭加权轨道积分 $I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(\gamma,\omega,f)$ 及其内播对应项 $I_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(\gamma,\omega,f)$，并考虑其差。
• 利用 $c$-轨道积分 ${}^{c}I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}$ 的理论，构造 $\tilde{M}(F)$ 上的函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$，使得 $I^{\tilde{M}}(\gamma,\omega,\epsilon_{\tilde{M}}(f)) = I_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(\gamma,\omega,f) - I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(\gamma,\omega,f)$。
• 利用 $c$-轨道积分为模共轭紧支集的性质，通过单位分解定义全局函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$，将半单元素附近的局部构造与具有良好衰减控制的全局构造相结合。
• 通过验证其满足第 1.7 节中定义的条件，证明 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 为施瓦茨型，从而确保其在迹公式应用中具有解析控制。
• 在 $\tilde{M}$ 上对 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 应用迹公式，利用其轨道积分在稳定共轭类上为零的性质，得出 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 为尖形式，因而为零，从而完成稳定化证明。
• 利用先前关于 Shalika 胚芽与内播转移的研究成果，确保在半单元素附近存在满足所需恒等式的局部函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\tilde{M}(F)$ 上构造一个函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$，使得在 $\tilde{G}$ 上内播与几何加权轨道积分的差等于 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 的未加权轨道积分？
• RQ2 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 需要满足何种正则性与衰减性质，以确保其轨道积分的收敛性与解析性？
• RQ3 如何将局部构造（在半单元素附近）与全局构造（具有良好衰减性）结合，以得到一个全局定义良好的函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$？
• RQ4 是否可能确保 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 为施瓦茨型？这对其在迹公式下的行为有何含义？
• RQ5 当 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 对所有稳定分布积分时是否为零，从而意味着扭迹公式的稳定化？

主要发现

• 函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 存在，并对所有强正则 $\gamma \in \tilde{M}(F)$ 满足恒等式 $I^{\tilde{M}}(\gamma,\omega,\epsilon_{\tilde{M}}(f)) = I_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(\gamma,\omega,f) - I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(\gamma,\omega,f)$。
• 函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 在 $M(F)$ 的某个固定紧开子群下局部双不变，确保其在轨道积分中保持不变。
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 沿映射 $\tilde{H}_{\tilde{M}}: \tilde{M}(F) \to \tilde{{\cal A}}_{\tilde{M}}$ 的每个纤维上的限制具有紧支集，这对轨道积分的定义至关重要。
• 函数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 为施瓦茨型，如第 1.7 节所定义，确保其在迹公式应用中具有收敛性与解析控制。
• 通过应用迹公式并利用下降关系，证明 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 为尖形式，从而其对稳定分布的积分为零。
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ 可表示为 $^{c}\theta_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(f) - {}^{c}\theta_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(f)$ 与一个紧支集函数之和，从而确认其正则性与可积性。