[论文解读] Stabilising nontrivial solutions of the generalised Kuramoto-Sivashinsky equation using feedback and optimal control

Susana N. Gomes, Demetrios T. Papageorgiou+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一套严格的反馈与最优控制框架，用于稳定广义柯尔莫哥洛夫-希瓦什金方程中非平凡的稳态解（如行波），该方程描述了存在电场和色散效应的薄膜流动。研究证明，通过有限数量的点执行器可稳定任意不稳定的解，且所需执行器数量与不稳定模态的数量相关，并展示了对粘性系数和电场强度等参数变化的鲁棒性。

ABSTRACT

The problem of controlling and stabilising solutions to the Kuramoto-Sivashinsky equation is studied in this paper. We consider a generalised form of the equation in which the effects of an electric field and dispersion are included. Both the feedback and optimal control problems are studied. We prove that we can control arbitrary nontrivial steady states of the Kuramoto-Sivashinsky equation, including travelling wave solutions, using a finite number of point actuators. The number of point actuators needed is related to the number of unstable modes of the equation. Furthermore, the proposed control methodology is shown to be robust with respect to changing the parameters in the equation, e.g. the viscosity coefficient or the intensity of the electric field. We also study the problem of controlling solutions of coupled systems of Kuramoto-Sivashinsky equations. Possible applications to controlling thin film flows are discussed. Our rigorous results are supported by extensive numerical simulations.

研究动机与目标

• 开发控制策略，以稳定广义柯尔莫哥洛夫-希瓦什金方程中的非平凡稳态解（包括行波）。
• 建立使用有限数量点执行器稳定此类解的最优控制存在的理论基础。
• 研究控制方法在粘性系数和电场强度等关键物理参数变化下的鲁棒性。
• 将控制框架扩展至柯尔莫哥洛夫-希瓦什金方程的耦合系统。
• 为复杂混沌偏微分方程系统中反馈控制提供严格的数学基础，该类系统与薄膜流动密切相关。

提出的方法

• 通过希尔伯特变换算子和附加非线性项，构建包含色散与电场效应的广义柯尔莫哥洛夫-希瓦什金方程。
• 采用有限数量的点执行器实施反馈控制，执行器数量由线性化系统中不稳定模态的数量决定。
• 构建带有二次型性能指标的最优控制问题，以最小化控制能量与状态偏差。
• 利用伽辽金逼近与弱收敛技术，在希尔伯特空间框架下证明最优控制的存在性。
• 采用紧嵌入与有界性估计，确保近似解收敛至最优控制。
• 通过在不同参数范围与执行器配置下进行广泛数值模拟，验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否仅通过有限数量的点执行器即可稳定广义柯尔莫哥洛夫-希瓦什金方程的任意非平凡稳态解？
• RQ2 所需执行器数量如何随系统中不稳定模态数量的变化而变化？
• RQ3 所提出的控制方法是否对粘性系数和电场强度等物理参数变化具有鲁棒性？
• RQ4 最优控制框架是否可扩展至柯尔莫哥洛夫-希瓦什金方程的耦合系统？
• RQ5 在系统参数存在不确定性或噪声的情况下，控制性能是否依然可靠？

主要发现

• 稳定某一非平凡稳态解所需的点执行器数量，与线性化系统中不稳定模态的数量成正比。
• 在二次型性能指标下，广义柯尔莫哥洛夫-希瓦什金方程的最优控制存在性得到严格证明。
• 该控制方法对粘性系数与电场强度的变化具有鲁棒性，在不同参数范围内均能保持稳定。
• 数值模拟结果验证了理论预测，并有效展示了对混沌解与行波解的稳定化效果。
• 该框架可扩展至柯尔莫哥洛夫-希瓦什金方程的耦合系统，从而实现对更复杂时空动力学的控制。
• 研究结果为在状态信息不完全的系统中实施反馈控制奠定了基础，相关工作正在推进有限观测条件下的扩展。