[论文解读] Stabilite en niveau 0 pour les groupes orthogonaux impairs p-adiques

Colette Mœglin|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过在奇正交p进群的帕拉霍里子群上利用特征层构造稳定分布，建立了椭圆表示在零水平的稳定性。证明了稳定表示的线性组合源自特定参数集，其中中心符号与固定值 $\natural$（iso 或 an）匹配，通过傅里叶型变换和吕斯蒂格的施莱夫利理论，完全解析了稳定包的结构。

ABSTRACT

In this paper, we construct stable distributions on the set of elliptic elements of an odd orthogonal groups (over a p-adic field with p large). Theses distributions are of zero level. They are parametrised by Langlands like parameters. In the second part of the paper, we show how to interpret these distributions in term of characters of discrete series; this is conditional to a result of A.-M. Aubert which announces how to reduce the zero level case to the case of unipotent reduction using the Lusztig's induction. But, modulo this explicit hypothesis, we prove that our computation will determine all the stable linear combinations of discrete series of zero level for $SO(2n+1)$. The link between the parameters of stable distributions and stable linear combinations of discrete series is done by using a Fourier like involution on the set of parameters.

研究动机与目标

• 为奇正交p进群的椭圆表示在零水平构造稳定分布。
• 表征在稳定共轭下保持稳定的表示线性组合。
• 通过伪系数与轨道积分，以稳定包的形式解释结果。
• 通过分析帕拉霍里子群限制与赫克代数约化，将 [8] 和 [3] 的框架扩展至奇正交群。
• 验证稳定包中表示之和是稳定的，其中中心符号 $\natural$ 决定包的分解结构。

提出的方法

• 使用兰兰茨-吕斯蒂格同态 $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \to \widehat{G}$，并将其限制在 $W_F \to \langle Fr \rangle$ 的核上，以定义幂零轨道与局部系统。
• 应用吕斯蒂格的广义施莱夫利理论，将特征层与幂零轨道上的局部系统关联，从而在有限李型群上生成函数。
• 通过在质p幂零子群作用下的不变性，将这些函数上延至帕拉霍里子群，再在全群上以零延拓。
• 应用傅里叶型变换 $\mathcal{F}$，将参数集 $(\psi, \epsilon)$ 映射至新参数集，符号校正取决于 $\epsilon_Z = \natural$。
• 利用 [3] 中的猜想，将零水平表示的研究约化为更小群（包括酉群与正交群）上的幂零约化。
• 应用亚瑟的结果，将表示的稳定性约化为伪系数轨道积分的稳定性，从而证明主要稳定性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些零水平椭圆表示 $SO(2n+1,F)$ 的线性组合在稳定共轭下保持稳定？
• RQ2 如何利用几何参数显式描述此类表示的稳定包？
• RQ3 中心符号 $\epsilon_Z = \natural$ 在决定稳定分布结构中起什么作用？
• RQ4 帕拉霍里子群上的特征层如何贡献于稳定轨道积分的构造？
• RQ5 参数集 $ (\psi, \epsilon) $ 上的傅里叶变换 $\mathcal{F} $ 是否可用于生成表示的稳定组合？

主要发现

• 对任意 $\psi$，和 $\sum_{\epsilon^\prime} \left( \prod_{\alpha \in \cup_{[u]} Jord(U_{[u]})} \epsilon^\prime(\alpha) \right) \pi(\psi, \epsilon^\prime)$ 构成一个稳定分布。
• 当 $\natural = \text{iso}$ 或 $\text{an}$ 时，唯一稳定的分布是那些将求和限制在满足 $\epsilon^\prime_Z = \natural$ 的 $\epsilon^\prime$ 上的分布。
• 傅里叶变换 $\mathcal{F}$ 将稳定或半稳定参数空间 $\mathbb{C}[Ell_\chi]_{st,sst}$ 映射到 $\mathbb{C}[Ell_\chi]_{stable,\text{iso}} \oplus \mathbb{C}[Ell_\chi]_{stable,\text{an}}$。
• 与 $|D|\pi$ 的特征重合中的符号 $(-1)^{rg_G - rg_{P_{cusp,\pi}}}$ 由 $\prod_{\alpha \in \cup_{[u]} Jord(U_{[u]}), \alpha \equiv 0 \pmod{2}} \epsilon(\alpha)$ 给出。
• 零水平表示的伪系数构造通过帕拉霍里子群限制与约化至幂零类型被完全描述。
• 稳定包结构完全由参数集 $ (\psi, \epsilon) $ 决定，其中 $ U^{\prime\prime}_{[u]} = 0 $ 或 $ U^{\prime}_{[u]} = 0 $，具体取决于 $\natural$。