[论文解读] Stability analysis and stabilization of LPV systems with jumps and (piecewise) differentiable parameters using continuous and sampled-data controllers

Corentin Briat|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

Stability and Control of Uncertain Systems被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对具有跳跃和分段可微参数的线性参数变化（LPV）系统的新型稳定性与镇定框架，采用时钟-参数依赖的李雅普诺夫函数。该方法引入了最小与范围驻留时间条件，统一了二次稳定性和鲁棒稳定性，通过平方和（SOS）规划实现更宽松的分析与控制器设计，并通过数值示例验证了在采样数据和连续控制器下保证稳定性的有效性。

ABSTRACT

Linear Parameter-Varying (LPV) systems with jumps and piecewise differentiable parameters is a class of hybrid LPV systems for which no tailored stability analysis and stabilization conditions have been obtained so far. We fill this gap here by proposing an approach based on a clock- and parameter-dependent Lyapunov function yielding stability conditions under both constant and minimum dwell-times. Interesting adaptations of the latter result consist of a minimum dwell-time stability condition for uncertain LPV systems and LPV switched impulsive systems. The minimum dwell-time stability condition is notably shown to naturally generalize and unify the well-known quadratic and robust stability criteria all together. Those conditions are then adapted to address the stabilization problem via timer-dependent and a timer- and/or parameter-independent (i.e. robust) state-feedback controllers, the latter being obtained from a relaxed minimum dwell-time stability condition involving slack-variables. Finally, the last part addresses the stability of LPV systems with jumps under a range dwell-time condition which is then used to provide stabilization conditions for LPV systems using a sampled-data state-feedback gain-scheduled controller. The obtained stability and stabilization conditions are all formulated as infinite-dimensional semidefinite programming problems which are then solved using sum of squares programming. Examples are given for illustration.

研究动机与目标

• 解决针对具有跳跃和分段可微参数的LPV系统缺乏专门稳定性与镇定条件的问题。
• 开发一个统一框架，通过最小驻留时间约束推广并统一二次稳定性和鲁棒稳定性准则。
• 通过引入松弛条件与额外变量，实现基于定时器依赖与鲁棒状态反馈控制器的镇定。
• 通过范围驻留时间条件将结果扩展至采样数据控制，以实现实际应用。
• 将所有条件形式化为可通过平方和（SOS）优化求解的无限维半定规划（SDP）。

提出的方法

• 利用时钟-参数依赖的李雅普诺夫函数，分析在恒定与最小驻留时间下的稳定性。
• 推导出可推广二次稳定性与鲁棒稳定性、适用于不确定LPV系统与切换脉冲系统的最小驻留时间稳定性条件。
• 引入带额外变量的松弛最小驻留时间条件，以设计对定时器与参数变化均不敏感的鲁棒（定时器与参数无关）状态反馈控制器。
• 应用范围驻留时间条件分析采样数据控制下的稳定性，实现增益调度控制器设计。
• 将所有稳定性与镇定条件转化为可通过平方和（SOS）编程求解的无限维半定规划（SDP）。
• 采用多项式参数化与SOS优化方法，计算具有保证稳定性裕度的镇定控制器。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有跳跃和分段可微参数的LPV系统推导出比二次或鲁棒准则更宽松的稳定性条件？
• RQ2 最小驻留时间约束如何用于统一并推广现有LPV系统的稳定性准则？
• RQ3 能否在松弛的驻留时间条件下，利用额外变量设计鲁棒且定时器依赖的状态反馈控制器？
• RQ4 范围驻留时间在实现具有不连续参数的LPV系统采样数据镇定中起到什么作用？
• RQ5 平方和（SOS）规划在计算此类混合LPV系统的镇定控制器方面可达到何种程度？

主要发现

• 所提出的最小驻留时间条件统一并推广了二次稳定性和鲁棒稳定性准则，为稳定性分析提供了更宽松的框架。
• 引入额外变量的松弛最小驻留时间条件，使设计对定时器与参数变化均不敏感的鲁棒状态反馈控制器成为可能。
• 在示例22中，该方法可使系统在[0.001, 0.6]范围内的所有驻留时间下保持稳定，优于先前采用输入延迟模型的方法（其要求最大驻留时间为0.6）。
• 在示例23中，该方法实现了至少T_max = 2.0的镇定范围，超过先前最佳结果T_max = 1.349，表现出显著改进。
• SOS方法在不到37秒内求解了包含最多9618个原始变量与966个对偶变量的大型SDP近似问题，证明了其计算可行性。
• 仿真结果验证了在示例23中，对于[0.001, 0.4]范围内的随机驻留时间，闭环系统保持稳定，证实了采样数据控制器设计的实际适用性。