[论文解读] Stability analysis for a class of linear systems governed by difference equations

Sérine Damak, Michaël Di Loreto+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出一种李雅普诺夫-克拉索夫斯基方法，用于分析具有多个时滞的连续时间差分方程所描述的线性系统的指数稳定性。该文建立了基于线性矩阵不等式（LMI）的指数稳定性的充分条件，对于同源时滞情形推导出必要且充分的条件，并提供了在参数不确定性及时变时滞下的衰减速率估计与鲁棒性分析。

ABSTRACT

Linear systems governed by continuous-time difference equations cover a wide class of linear systems. From the Lyapunov-Krasovskii approach, we investigate stability for such a class of systems. Sufficient conditions, and in some particular cases, necessary and sufficient conditions for exponential stability are established, for multivariable systems with commensurate or rationally independent delays. A discussion on robust stability is proposed, for parametric uncertainties and time-varying delays.

研究动机与目标

• 开发基于连续时间差分方程的多时滞线性系统的指数稳定性的充分条件。
• 推导同源时滞情形下指数稳定性的必要且充分条件。
• 将稳定性分析扩展至具有参数不确定性和时变时滞的系统。
• 利用李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函提供指数衰减速率的估计。
• 确保在范数有界参数不确定性及时变时滞下的稳定性鲁棒性。

提出的方法

• 采用李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函方法分析由 $ x(t) = \sum_{k=1}^{N} A_k x(t - r_k) $ 描述的系统的稳定性。
• 通过引入含矩阵变量 $ Q_k $ 和 $ \eta $ 的李雅普诺夫泛函，推导出指数稳定性的充分LMI条件。
• 当延迟为同源时，基于谱半径分析，建立指数稳定性的必要且充分条件。
• 应用谱分析与巴拿赫代数技术，证明系统分布 $ g(t) = \delta(t) - \sum A_k \delta(t - r_k) $ 的有界性与可逆性。
• 利用拉普拉斯变换与卷积，将解表示为 $ x(t) = h(t) \ast \psi(t) $，其中 $ h \in \ell_1^{n \times n} $，确保有界性。
• 引入变换变量 $ z(t, \varphi) = e^{\gamma t} x(t, \varphi) $，以证明衰减速率为 $ \gamma < \mu $，其中 $ \mu $ 由LMI条件导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由差分方程控制的多时滞线性系统，其指数稳定性的基于LMI的充分条件是什么？
• RQ2 在何种条件下稳定性准则既必要又充分，特别是针对同源时滞？
• RQ3 如何估计并改进相对于先前LMI方法结果的指数衰减速率？
• RQ4 在参数不确定性和时变时滞下，稳定性条件的鲁棒性如何？
• RQ5 能否通过泛函分析与拉普拉斯变换技术证明解有界且指数衰减？

主要发现

• 为具有同源或有理独立时滞的多变量线性系统建立了指数稳定的充分LMI条件。
• 对于同源时滞，推导出指数稳定的必要且充分条件，以谱半径不等式形式表达。
• 通过LMI条件估计了指数衰减速率 $ \gamma $，如例7所示，当 $ \|\varphi\|_c = 2 $ 时，有 $ \|x_t(\varphi)\|_{L_2} \leq 4.9125 \|\varphi\|_c e^{-\gamma t} $。
• 分析了对参数范数有界不确定性的鲁棒性，稳定性在小扰动下得以保持。
• 通过变换变量方法，将指数稳定的充分条件扩展至时变时滞系统。
• 通过证明系统分布 $ g $ 在巴拿赫代数 $ \ell_1^{n \times n} $ 中的可逆性，证明了解 $ x(t, \varphi) $ 有界且指数衰减。