[论文解读] Stability Analysis of Discrete-Time Linear Complementarity Systems

Arvind U. Raghunathan, Jeff Linderoth|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2020

Formal Methods in Verification参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文提出了首个用于验证离散时间线性互补系统（DLCS）李雅普诺夫稳定性的精确算法，采用仅依赖于状态变量或同时依赖于状态与代数变量的二次李雅普诺夫函数。该方法将稳定性验证问题转化为在非凸锥上求解共正性规划问题，通过一种新颖的割平面算法验证可行性，并在时间步长较小时建立了LCS与DLCS稳定性之间的等价性。

ABSTRACT

A Discrete-Time Linear Complementarity System (DLCS) is a dynamical system in discrete time whose state evolution is governed by linear dynamics in states and algebraic variables that solve a Linear Complementarity Problem (LCP). The DLCS is the hybrid dynamical system that is the discrete-time counterpart of the well-known Linear Complementarity System (LCS). We derive sufficient conditions for Lyapunov stability of a DLCS when using a quadratic Lyapunov function that depends only on the state variables and a quadratic Lyapunov function that depends both on the state and the algebraic variables. The sufficient conditions require checking the feasibility of a copositive program over nonconvex cones. Our results only assume that the LCP is solvable and do not require the solutions to be unique. We devise a novel, exact cutting plane algorithm for the verification of stability and the computation of the Lyapunov functions. To the best of our knowledge, our algorithm is the first exact approach for stability verification of DLCS. A number of numerical examples are presented to illustrate the approach. Though our main object of study in this paper is the DLCS, the proposed algorithm can be readily applied to the stability verification of LCS. In this context, we show the equivalence between the stability of a LCS and the DLCS, resulting from a time-stepping procedure applied to the LCS for all sufficiently small time steps.

研究动机与目标

• 开发一种严格且精确的算法，用于验证离散时间线性互补系统（DLCS）的李雅普诺夫稳定性，DLCS是受线性动力学与互补约束控制的混合系统。
• 将李雅普诺夫稳定性分析扩展至DLCS，无需假设互补问题具有唯一解，从而扩大其在实际混合系统中的适用范围。
• 设计一种新颖的割平面算法，精确验证稳定性并计算李雅普诺夫函数，克服基于松弛方法的局限性。
• 证明在时间步长足够小时，连续时间线性互补系统（LCS）的稳定性与通过时间步长离散化得到的DLCS稳定性之间存在等价性。
• 提供一种适用于机器人、机械系统和电气电路中控制系统的计算框架，其中互补约束用于建模接触、摩擦或开关行为。

提出的方法

• 本文将稳定性验证问题形式化为一个涉及非凸锥上共正性规划的可行性问题，该问题源自仅依赖于状态变量或同时依赖于状态与代数变量的二次李雅普诺夫函数。
• 提出两种类型的李雅普诺夫函数：仅依赖于状态变量的公共二次李雅普诺夫函数（CQLF）和同时依赖于状态与互补变量的扩展二次李雅普诺夫函数（EQLF）。
• 该方法利用S-引理将共正性条件松弛为线性矩阵不等式（LMI），从而通过凸松弛技术高效计算李雅普诺夫函数。
• 提出一种新颖的精确割平面算法，用于求解非凸共正性规划问题，通过迭代细化可行域，确保在解存在时收敛至解。
• 该算法能够处理互补约束带来的非凸结构，且被证明是精确的，不依赖于近似或松弛方法。
• 该方法被进一步扩展，证明当时间步长足够小时，连续时间LCS的稳定性与通过显式、隐式或梯形欧拉格式离散化得到的DLCS稳定性等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不依赖松弛或近似方法，精确验证DLCS的李雅普诺夫稳定性？
• RQ2 对于仅依赖于状态变量或同时依赖于状态与代数变量的二次李雅普诺夫函数，DLCS李雅普诺夫稳定性的充分条件是什么？
• RQ3 如何将稳定性验证问题表述为在非凸锥上的共正性规划问题？其求解的计算复杂度如何？
• RQ4 是否存在一种精确算法，可在互补问题存在非唯一解时，仍能计算李雅普诺夫函数并验证DLCS的稳定性？
• RQ5 连续时间LCS的稳定性是否意味着其时间离散化后的DLCS在时间步长足够小时也稳定，反之亦然？

主要发现

• 本文建立了基于二次李雅普诺夫函数的DLCS李雅普诺夫稳定性的充分条件，即使互补问题存在非唯一解也依然有效。
• 稳定性验证问题被简化为在非凸锥上检查共正性规划的可行性，该问题虽计算困难，但可通过所提算法求解。
• 所提出的割平面算法是首个用于DLCS稳定性验证的精确方法，能够无松弛间隙地计算李雅普诺夫函数并验证稳定性。
• 该方法在数值算例中成功计算出李雅普诺夫函数，证明了其在具有互补约束系统中的实际适用性。
• 本文证明了当时间步长足够小时，连续时间LCS的稳定性与通过显式、隐式或梯形欧拉格式离散化得到的DLCS稳定性等价。
• 基于S-引理的松弛转化为LMI，使得李雅普诺夫函数可高效计算，同时通过割平面算法的精化过程保持了稳定性验证的精确性。