[论文解读] Stability analysis of fixed point of fractional-order coupled map lattices

Sachin Bhalekar, Prashant M. Gade|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2022

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 48被引用 11

一句话总结

本文提出了一种分数阶耦合映射格点（CMLs）中同步固定点的稳定性分析框架，表明连通矩阵的特征值决定了稳定性——与整数阶系统中的情况一致。通过Z变换和循环矩阵理论，作者推导出具有平移不变耦合的一维格点的精确稳定性边界，并通过雅可比线性化方法将分析扩展至非线性系统。

ABSTRACT

We study the stability of synchronized fixed-point state for linear fractional-order coupled map lattice(CML). We observe that the eigenvalues of the connectivity matrix determine the stability as for integer-order CML. These eigenvalues can be determined exactly in certain cases. We find exact bounds in one-dimensional lattice with translationally invariant coupling using the theory of circulant matrices. This can be extended to any finite dimension. Similar analysis can be carried out for the synchronized fixed point of nonlinear coupled fractional maps where eigenvalues of the Jacobian matrix play the same role. The analysis is generic and demonstrates that the eigenvalues of connectivity matrix play a pivotal role in stability analysis of synchronized fixed point even in coupled fractional maps.

研究动机与目标

• 建立分数阶耦合映射格点中同步固定点稳定性分析的理论框架。
• 确定连通矩阵的特征值如何影响分数阶系统中的稳定性，将整数阶CMLs中的已知结果推广至分数阶系统。
• 为具有周期性边界条件和空间平移不变耦合的一维格点，推导出精确的解析稳定性边界。
• 通过雅可比矩阵特征值，将稳定性分析扩展至非线性分数阶CMLs。
• 证明相同的基于特征值的稳定性准则适用于线性和非线性分数阶CMLs，从而实现更广泛的应用。

提出的方法

• 采用类似Caputo的差分算子构建分数阶CML，以描述离散时间下的分数阶动力学。
• 对系统方程应用Z变换，推导出涉及连通矩阵A和分数阶α的特征方程。
• 利用循环矩阵理论，对具有对称和平移不变耦合的一维格点，解析计算其特征值。
• 在复平面上推导出参数化边界曲线（类似心形曲线），用于定义特征方程的稳定区域。
• 对非线性分数阶CMLs应用雅可比矩阵线性化，将稳定性分析简化为在固定点处对雅可比矩阵特征值的评估。
• 通过数值模拟验证解析稳定性预测，并展示稳定与不稳定区域中的瞬态动力学行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 连通矩阵的特征值如何决定分数阶耦合映射格点中同步固定点的稳定性？
• RQ2 能否为具有周期性和空间平移不变耦合的一维分数阶CMLs推导出精确的解析稳定性边界？
• RQ3 整数阶CMLs的稳定性准则在多大程度上可推广至分数阶系统？
• RQ4 分数阶α如何影响复平面上稳定区域的形状与大小？
• RQ5 非线性分数阶CMLs中同质固定点的稳定性满足何种条件？这些条件能否通过雅可比矩阵预测？

主要发现

• 分数阶CMLs中同步固定点的稳定性仅由连通矩阵A的特征值决定，与整数阶系统中的结果一致。
• 对于具有空间平移不变耦合的一维格点，特征值可解析表示为 λ_l = a1 + a2ω^l + a0ω^{-l}，其中ω为单位的N次根。
• 推导出特征值实部的精确稳定性边界：1 - 2α < λ < 1，适用于实特征值。
• 复平面上的稳定区域由参数曲线β(t)界定，其形式为 β(t) = (2α(sin(t/2))^α cos(απ/2 + t(1 - α/2)) + 1, 2α(sin(t/2))^α sin(απ/2 + t(1 - α/2)))，其中α和t为参数。
• 数值模拟证实，当特征值位于由β(t)定义的稳定区域内时，系统收敛至同步固定点；否则系统发散。
• 对于非线性系统，同质固定点的稳定性由在该固定点处计算的雅可比矩阵特征值决定，且适用相同的稳定性准则。