[论文解读] Stability analysis of RBF-FD and WLS based local strong form meshless methods on scattered nodes

Mitja Jančič, Gregor Kosec|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2022

Numerical methods in engineering参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文比较了两种局部强形式无网格方法——RBF-FD（使用多调和样条并辅以单项式）与WLS（仅使用单项式）——在2D和3D域中散乱节点上的稳定性和精度。结果表明，对于高阶近似，RBF-FFD具有显著更好的稳定性和更高的精度；而对于低阶情形，WLS则更稳定且计算效率更高。

ABSTRACT

The popularity of local meshless methods in the field of numerical simulations has increased greatly in recent years. This is mainly due to the fact that they can operate on scattered nodes and that they allow a direct control over the approximation order and basis functions. In this paper we analyse two popular variants of local strong form meshless methods, namely the radial basis function-generated finite differences (RBF-FD) using polyharmonic splines (PHS) augmented with monomials, and the weighted least squares (WLS) approach using only monomials. Our analysis focuses on the accuracy and stability of the numerical solution computed on scattered nodes in a two- and three-dimensional domain. We show that while the WLS variant is a better choice when lower order approximations are sufficient, the RBF-FD variant exhibits a more stable behavior and a higher accuracy of the numerical solution for higher order approximations, but at the cost of higher computational complexity.

研究动机与目标

• 评估两种流行的局部强形式无网格方法——RBF-FD与WLS——在非结构化、散乱节点分布下的数值稳定性与精度。
• 确定在不同近似阶次（低阶与高阶）下，哪种方法在稳定性、精度与计算成本方面表现更优。
• 研究模板大小与节点分布对解的可靠性及收敛行为的影响。
• 为涉及复杂几何形状的实际仿真中RBF-FD与WLS的选择提供实用指导。
• 评估两种方法在不同离散化水平及更高维度（2D与3D）下的鲁棒性。

提出的方法

• 本研究采用局部强形式无网格框架，其中微分算子通过加权最小二乘法（WLS）或径向基函数生成的有限差分法（RBF-FD）进行近似。
• 对于WLS，使用次数不超过m的单项式作为基函数，权重通过最小化加权最小二乘误差范数计算得出。
• 对于RBF-FD，采用多调和样条（PHS）作为径向基函数，并辅以单项式以提升近似稳定性与精度。
• 近似在包含邻近节点的局部模板上构建，当节点数超过基函数数量时，通过线性最小二乘法求解系统。
• 采用具有解析解的泊松问题作为基准，计算无穷范数误差，以评估收敛性与稳定性。
• 通过在100次独立运行中（每次使用不同的节点分布）计算误差的归一化散布来量化稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在散乱节点上，RBF-FD与WLS方法在低阶与高阶近似下的数值稳定性如何比较？
• RQ2 基函数的选择（单项式 vs. PHS+单项式）是否显著影响2D与3D域中收敛速率与误差分布？
• RQ3 对于每种方法，误差的归一化散布如何随节点数量与近似阶次的增加而变化？
• RQ4 是否存在一个临界阶次，使得其中一种方法在稳定性上显著优于另一种？
• RQ5 每种方法的计算复杂度如何随近似阶次与维度的增加而变化？

主要发现

• 在2D中，RBF-FD变体在所有节点数量下均表现出约1的归一化散布，表明其性能一致且稳定；而WLS变体的散布高出两个数量级且更不可预测。
• 对于高阶近似（m > 2），RBF-FD方法在精度与稳定性方面均显著优于WLS，后者常出现发散（例如，在3D中m=6且N≈10^3时，无穷范数误差约为10^1）。
• 在2D中，低阶WLS近似（m=2）在稳定性和精度方面优于RBF-FD，表现为更低的归一化散布与计算成本。
• 在3D中，RBF-FD方法的散布随节点数量增加而保持稳定并持续减小，而WLS方法在高阶下（尤其是m=6）的散布则呈上升趋势。
• 对于低阶近似，WLS变体（m=2）在计算成本与稳定性方面仍优于RBF-FD，但高阶时稳定性迅速下降。
• 对于高阶近似，RBF-FD方法的稳定性比WLS高几个数量级，使其对非均匀节点分布更具鲁棒性，更适合高精度仿真。