[论文解读] Stability and Bifurcation Analysis of a Fractional Order Delay Differential Equation Involving Cubic Nonlinearity

Sachin Bhalekar, Deepa Gupta|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2022

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 56被引用 8

一句话总结

本文分析了具有三次非线性的分数阶时滞微分方程中的稳定性与混沌行为，通过线性化和特征方程分析，推导出与时滞相关的和与时滞无关的稳定性条件。主要贡献在于为任意 ϵ > 0 和 p > 0 完整描绘了 qδ 平面中的稳定区域，通过数值模拟和分岔分析验证，结果表明当时滞值较大时系统表现出混沌行为。

ABSTRACT

Fractional derivative and delay are important tools in modeling memory properties in the natural system. This work deals with the stability analysis of a fractional order delay differential equation \begin{equation*} D^\alpha x(t)=\delta x(t- au)-\epsilon x(t- au)^3-px(t)^2+q x(t). \end{equation*} We provide linearization of this system in a neighbourhood of equilibrium points and propose linearized stability conditions. To discuss the stability of equilibrium points, we propose various conditions on the parameters $\delta$, $\epsilon$, $p$, $q$ and $ au$. Even though there are five parameters involved in the system, we are able to provide the stable region sketch in the $q\delta-$plane for any positive $\epsilon$ and $p$. This provides the complete analysis of stability of the system. Further, we investigate chaos in the proposed model. This system exhibits chaos for a wide range of delay parameter.

研究动机与目标

• 分析具有三次非线性的分数阶时滞微分方程中平衡点的稳定性。
• 推导系统平衡点的显式稳定性条件——包括与时滞相关的和与时滞无关的条件。
• 为任意正的 ϵ 和 p 在 qδ 平面中完整映射稳定区域，实现完整的参数稳定性分析。
• 研究当延迟参数 τ 变化时，混沌行为的出现机制。
• 通过数值模拟、分岔图和李雅普诺夫指数计算验证理论结果。

提出的方法

• 利用一阶泰勒近似对系统在平衡点附近进行线性化，推导出线性化的分数阶时滞方程。
• 应用马蒂尼翁的稳定性准则，通过特征方程分析对分数阶时滞系统进行分析。
• 利用涉及 α、q 和 δ 的三角函数与反余弦表达式，推导临界时滞值 τ*，以检测霍普夫分岔。
• 使用参数曲线 g1(p, q, ϵ) 和 g2(p, q, ϵ) 定义 x*₂ 在 qδ 平面中稳定区域的边界。
• 通过时间序列和相图的数值模拟，可视化极限环和混沌吸引子。
• 使用 Kodba 等人提出的算法计算最大李雅普诺夫指数，以确认混沌动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，平衡点 x*₁ = 0 是稳定或不稳定的？时滞 τ 如何影响其稳定性？
• RQ2 参数 δ、q、ϵ 和 p 如何影响非零平衡点 x*₂ 和 x*₃ 的稳定性？
• RQ3 在 qδ 平面中，定义与时滞相关和与时滞无关的稳定区域的精确参数边界是什么？
• RQ4 当延迟 τ 取何值时，系统表现出混沌振荡？
• RQ5 如何通过分岔图和李雅普诺夫指数确认混沌的存在？

主要发现

• 根据定理 1 的情况 2，当 δ + q > 0 时，平衡点 x*₁ = 0 对所有 τ ≥ 0 均不稳定。
• 如定理 3 所示，当 δ + q < 0 且 δ ≥ q 时，x*₁ 对所有 τ ≥ 0 渐近稳定。
• 当 δ + q < 0 且 δ < q 时，x*₁ 表现为与时滞相关的稳定性，此时 δ = -3, q = -2, ϵ = 1, p = 1 的临界时滞 τ* ≈ 1.0690。
• 对于 x*₂，根据定理 5，当 ϵ > 0, p > 0 且 0 < −q < δ < −2q 时，系统对所有 τ ≥ 0 渐近稳定。
• x*₂ 在 qδ 平面中的稳定区域由曲线 δ = g1(p, q, ϵ)、δ = g2(p, q, ϵ) 和 δ = −q 围成，其中 g2 在 δ₁ = −p²/(32ϵ) 处具有局部最小值。
• 当 τ > 2.2 时确认出现混沌，最大李雅普诺夫指数分别为 τ = 2.3 时的 0.546279 和 τ = 2.5 时的 1.083852，表明混沌指标为正。