[论文解读] Stability and Bifurcation Analysis of Coupled Fitzhugh-Nagumo Oscillators

W. G. Hanan, Dhagash Mehta+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2010

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 30被引用 5

一句话总结

本论文应用计算实代数几何方法——特别是判别簇（Discriminant Variety）与柱形代数分解（Cylindrical Algebraic Decomposition）——分析三个耦合的Fitzhugh-Nagumo振子的稳定性与分岔结构。研究识别出耦合强度 $g$ 的参数区域，在这些区域内稳态与稳定状态的数量保持不变，揭示了复杂的转变过程，包括在 $a=0$、$b=2$ 时最多出现27个稳态与14个稳定状态，且精确界定了临界分岔点的阈值 $μ_i$。

ABSTRACT

Neurons are the central biological objects in understanding how the brain works. The famous Hodgkin-Huxley model, which describes how action potentials of a neuron are initiated and propagated, consists of four coupled nonlinear differential equations. Because these equations are difficult to deal with, there also exist several simplified models, of which many exhibit polynomial-like non-linearity. Examples of such models are the Fitzhugh-Nagumo (FHN) model, the Hindmarsh-Rose (HR) model, the Morris-Lecar (ML) model and the Izhikevich model. In this work, we first prescribe the biologically relevant parameter ranges for the FHN model and subsequently study the dynamical behaviour of coupled neurons on small networks of two or three nodes. To do this, we use a computational real algebraic geometry method called the Discriminant Variety (DV) method to perform the stability and bifurcation analysis of these small networks. A time series analysis of the FHN model can be found elsewhere in related work[15].

研究动机与目标

• 分析小规模耦合Fitzhugh-Nagumo神经元网络的稳定性与分岔结构，重点关注 $n=3$ 的情形。
• 识别Fitzhugh-Nagumo模型中具有生物学意义的参数范围，特别是 $a \in [-2,2]$，$b \in (0,\infty)$，$g \in [-1,1]$，$\epsilon \leq 0.1$。
• 应用计算代数几何技术，确定参数空间中稳态的数量与稳定性。
• 通过使用高级代数方法精确求解 $n=3$ 系统，拓展此前对 $n=1$ 与 $n=2$ 情况的研究。
• 为 $n=3$ 提供参数空间的完整划分，按稳态与稳定状态数量恒定的区域进行分类。

提出的方法

• 使用判别簇（DV）方法隐式地将参数空间划分为稳态数量恒定的区域。
• 采用柱形代数分解（CAD）方法显式描述参数空间划分中的每个连通胞腔。
• 应用Routh-Hurwitz判据（及其Liénard-Chipart变体）确定每个稳态的稳定性。
• 使用Maple 13结合Groebner与RootFinding[Parametric]工具包，求解将时间导数设为零后得到的多项式方程组。
• 固定参数 $a=0$、$b=2$ 以降低维度，仅分析耦合强度 $g$ 的依赖关系。
• 使用数值阈值 $\mu_i$ 定义 $g$ 中区间边界，这些边界标志着稳态与稳定状态数量发生变化的点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三个耦合的Fitzhugh-Nagumo振子网络中，稳态数量如何随耦合强度 $g$ 变化？
• RQ2 在哪些 $g$ 的临界值处发生分岔，导致稳态数量发生变化？
• RQ3 在 $g$ 的不同区间内，有多少个稳态是稳定的，且该数量如何随参数变化而演变？
• RQ4 能否利用代数几何时方法将 $n=3$ 的完整参数空间划分为稳态与稳定状态数量恒定的区域？
• RQ5 在生物学相关的参数范围内，三节点网络中可实现的最大稳态与稳定状态数量分别是多少？

主要发现

• 对于 $n=3$，稳态数量随耦合强度 $g$ 的变化在3至27之间波动，共识别出12个不同区间。
• 在前12个 $g$ 区间中，稳定状态数量保持为2；随后当 $g$ 超过 $\mu_{15}$ 后，数量依次增至8、14，最终回落至6。
• 最大稳态数量为27，出现在区间 $g \in ]\mu_{15}, \mu_{16}[$，该区域同时也是稳定状态数量最多的区域（14个）。
• 参数 $g$ 在 $\mu_{18} \approx 0.1646$ 处经历关键转变，稳态数量从15跃升至27，表明发生了显著的分岔。
• 稳定状态数量在区间 $g \in ]\mu_{15}, \mu_{16}[$ 达到峰值14，为所观察到的最大稳定性计数。
• 最后一个区间 $g \in ]\mu_{24}, \infty[$ 包含27个稳态与6个稳定状态，表明尽管状态数量极高，但稳定性显著下降。