[论文解读] Stability and bifurcations for dissipative polynomial automorphisms of C^2

Romain Dujardin, Lyubich Mikhail|arXiv (Cornell University)|May 13, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 24被引用 18

一句话总结

本文证明了对于 C^2 中多项式自同构的全纯族，若其具有中等耗散性，则表现出同宿横截的参数在分岔集内稠密——从而证实了帕利斯猜想的复几何版本。作者引入了弱稳定性作为一维动力系统中 J-稳定性的动力学类比，并证明此类弱稳定映射，连同表现出同宿横截的映射，共同构成参数空间的稠密集，其方法基于半抛物分岔理论与 Denjoy-Carleman-Ahlfors 定理，用于在半抛物吸引子中构造临界点。

ABSTRACT

We study stability and bifurcations in holomorphic families of polynomial automorphisms of C^2. We say that such a family is weakly stable over some parameter domain if periodic orbits do not bifurcate there. We first show that this defines a meaningful notion of stability, which parallels in many ways the classical notion of J-stability in one-dimensional dynamics. In the second part of the paper, we prove that under an assumption of moderate dissipativity, the parameters displaying homoclinic tangencies are dense in the bifurcation locus. This confirms one of Palis' Conjectures in the complex setting. The proof relies on the formalism of semi-parabolic bifurcation and the construction of "critical points" in semi-parabolic basins (which makes use of the classical Denjoy-Carleman-Ahlfors and Wiman Theorems).

研究动机与目标

• 为 C^2 中多项式自同构的全纯族定义并分析弱稳定性，其类比于一维动力系统中的 J-稳定性。
• 在耗散性多项式自同构的背景下，研究分岔集的结构。
• 通过证明在中等耗散性条件下，同宿横截在分岔集内稠密，从而确认帕利斯猜想的复几何类比。
• 证明弱稳定映射与具有无穷多个吸引子的映射在参数空间中亦为稠密集。
• 建立半抛物分岔的形式化理论，并利用经典复分析工具在半抛物吸引子中构造临界点。

提出的方法

• 为 C^2 中多项式自同构的全纯族引入弱稳定性的概念，其定义为周期轨道中无分岔。
• 将分岔集定义为弱稳定性集的补集，类比于一维动力系统中的分岔集。
• 利用半抛物分岔的形式化理论，分析抛物周期点附近的动力学行为。
• 通过将 Denjoy-Carleman-Ahlfors 定理应用于具有渐近值的全纯映射，构造半抛物吸引子中的临界点。
• 应用 Wiman 定理控制全纯映射的增长，并推导出不稳定流形中临界点的存在性。
• 利用 Julia 集中的层状结构与横截性论证，当假设临界点不存在时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 C^2 中中等耗散性多项式自同构的全纯族，弱稳定性集是否在参数空间中稠密？
• RQ2 如帕利斯在复几何设定中所猜想，此类族的分岔集中同宿横截是否稠密？
• RQ3 能否利用经典复分析工具在多项式自同构的半抛物吸引子中构造临界点？
• RQ4 在中等耗散性假设下，若不稳定流形中不存在临界点，是否会导致矛盾？
• RQ5 Julia 集 J− 的层状结构在多大程度上限制了抛物点附近稳定与不稳定流形的几何结构？

主要发现

• 对于 C^2 中中等耗散性多项式自同构的全纯族，同宿横截在分岔集中稠密，从而证实了帕利斯猜想的复几何版本。
• 在相同假设下，弱稳定映射与具有无穷多个吸引子的映射在参数空间中亦为稠密集。
• 半抛物域中临界点的构造依赖于 Denjoy-Carleman-Ahlfors 定理，以及全纯映射中渐近值的存在性。
• 若映射在 J* 上为双曲，则在鞍点附近，稳定流形 W^s(J) 与吸引域的强稳定叶状结构 F^ss(B) 的并集不能形成层状结构。
• 当雅可比行列式满足 |Jac f| < d^{-4} 时，抛物点在 W^{ss}(p) ∩ J^{-} 中的连通分支为单点，这与某些假设下存在无界分支的结论矛盾。
• 若不稳定流形中不存在临界点，通过向前迭代，由于渐近值的出现与层状结构的约束，将导致 Denjoy-Carleman-Ahlfors 定理的矛盾。