[论文解读] Stability and Control of Functional Differential Equations

Matthew M. Peet|ArXiv.org|Jul 6, 2006

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 8被引用 7

一句话总结

本论文提出了一种基于半定规划与算子理论型李雅普诺夫不等式的非线性时滞系统新型稳定性分析框架。该研究证明，先前为线性化互联网拥塞控制协议推导出的增益界可确保原非线性系统的全局稳定性，并提出了一套基于参数依赖李雅普诺夫泛函的凸条件层次结构，用于验证线性和非线性时滞系统的稳定性。

ABSTRACT

This thesis addresses the question of stability of systems defined by differential equations which contain nonlinearity and delay. In particular, we analyze the stability of a well-known delayed nonlinear implementation of a certain Internet congestion control protocol. We also describe a generalized methodology for proving stability of time-delay systems through the use of semidefinite programming. In Chapters 4 and 5, we consider an Internet congestion control protocol based on the decentralized gradient projection algorithm. For a certain class of utility function, this algorithm was shown to be globally convergent for some sufficiently small value of a gain parameter. Later work gave an explicit bound on this gain for a linearized version of the system. This thesis proves that this bound also implies stability of the original system. In Chapter 7, we describe a general methodology for proving stability of linear time-delay systems by computing solutions to an operator-theoretic version of the Lyapunov inequality via semidefinite programming. The result is stated in terms of a nested sequence of sufficient conditions which are of increasing accuracy. This approach is generalized to the case of parametric uncertainty by considering parameter-dependent Lyapunov functionals. Numerical examples are given to demonstrate convergence of the algorithm. In Chapter 8, this approach is generalized to nonlinear time-delay systems through the use of non-quadratic Lyapunov functionals.

研究动机与目标

• 通过广义无源性框架，建立非线性时滞互联网拥塞控制协议的全局渐近稳定性。
• 开发一种基于凸优化的方法，通过算子理论型李雅普诺夫不等式验证线性时滞系统的稳定性。
• 通过采用非二次李雅普诺夫泛函与参数不确定性，将该方法扩展至非线性系统。
• 利用半定规划构建一系列逐步提高精度的稳定性充分条件层次结构。
• 通过数值例子展示所提算法的收敛性与有效性。

提出的方法

• 通过将系统分解为线性时滞分量与非线性不连续子系统，构建稳定性问题。
• 对线性分量应用频域分析，对非线性子系统应用时域分析，使用积分二次约束（IQCs）。
• 通过半定规划构建嵌套的凸条件序列，以验证线性时滞系统的稳定性。
• 引入参数依赖李雅普诺夫泛函，以处理线性系统中的参数不确定性。
• 通过采用非二次李雅普诺夫泛函与矩阵值乘子算子，将方法推广至非线性系统。
• 使用变换将分段连续核函数映射为缩放域上的连续函数，从而通过标准半定规划方法验证其正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为线性化互联网拥塞控制协议推导出的增益界是否也能保证原非线性系统的稳定性？
• RQ2 能否构建一套逐步提高精度的凸条件层次结构，以验证线性时滞系统的稳定性？
• RQ3 如何在凸优化框架内处理时滞系统中的参数不确定性？
• RQ4 能否通过采用非二次李雅普诺夫泛函，将稳定性分析框架扩展至非线性时滞系统？
• RQ5 矩阵值核函数的正定性与变换空间中对应正算子的存在性之间有何关系？

主要发现

• 为线性化互联网拥塞控制协议推导出的增益界可确保原非线性系统的全局渐近稳定性，解决了网络化控制系统领域的一个关键开放问题。
• 构建了线性时滞系统稳定性的一系列嵌套充分条件，随着层次水平的提高，其收敛于精确的稳定性边界。
• 所提方法通过使用参数依赖李雅普诺夫泛函，成功处理了参数不确定性，实现了鲁棒稳定性分析。
• 数值例子表明算法具有收敛性，稳定性界误差随基函数数量的增加而减小。
• 通过缩放将分段连续核函数转换为连续函数，保持了正定性，从而可使用标准半定规划求解器。
• 通过泛函分析与测度论论证，严格证明了不连续核的正定性与变换后连续对应物正定性之间的等价性。