[论文解读] Stability and error estimates for the variable step-size BDF2 method for linear and semilinear parabolic equations

Wansheng Wang, Mengli Mao+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2020

Numerical methods for differential equations参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文首次建立了变步长BDF2方法在应用于线性和半线性抛物方程时，零稳定性与 $ l^∞(0,T;H) $-稳定性之间的等价性。证明了确保 $ l^∞(0,T;H) $-稳定性的步长比上界与零稳定性阈值 $ R_0 = \sqrt{2}+1 \approx 2.414 $ 完全相同，并在多种范数下推导出最优误差估计，证实了即使在变时间步长下，当初始值通过梯形法则计算时，方法仍保持二阶精度。

ABSTRACT

In this paper stability and error estimates for time discretizations of linear and semilinear parabolic equations by the two-step backward differentiation formula (BDF2) method with variable step-sizes are derived. An affirmative answer is provided to the question: whether the upper bound of step-size ratios for the $l^\infty(0,T;H)$-stability of the BDF2 method for linear and semilinear parabolic equations is identical with the upper bound for the zero-stability. The $l^\infty(0,T;V)$-stability of the variable step-size BDF2 method is also established under more relaxed condition on the ratios of consecutive step-sizes. Based on these stability results, error estimates in several different norms are derived. To utilize the BDF method the trapezoidal method and the backward Euler scheme are employed to compute the starting value. For the latter choice, order reduction phenomenon of the constant step-size BDF2 method is observed theoretically and numerically in several norms. Numerical results also illustrate the effectiveness of the proposed method for linear and semilinear parabolic equations.

研究动机与目标

• 建立变步长BDF2方法在应用于线性和半线性抛物方程时的 $ l^\infty(0,T;H) $-稳定性。
• 确定确保 $ l^\infty(0,T;H) $-稳定的步长比上界是否与零稳定性阈值 $ R_0 = \sqrt{2}+1 \approx 2.414 $ 相同。
• 在放宽的步长比条件下，推导出多种范数下的全局误差估计，包括 $ l^\infty(0,T;H) $、$ l^\infty(0,T;V) $、$ l^2(0,T;H) $ 和 $ l^2(0,T;V) $。
• 分析初始值计算方法（梯形法则与后向欧拉法）对收敛阶的影响，特别是常步长BDF2中的阶数降低现象。
• 通过数值实验验证理论结果，并展示变步长BDF2在精度和效率方面优于常步长BDF2。

提出的方法

• 对线性和半线性抛物方程的时间区域采用一般时间划分，应用变步长BDF2方法，其中步长 $ k_n = t^n - t^{n-1} $ 可变。
• 该方法采用两步后向差分公式，并通过 $ s_n = k_n / (k_n + k_{n-1}) $ 定义修正的时间导数算子 $ \bar{\partial}^2_B U^n $，以保证二阶精度。
• 通过引入广义测试函数 $ U^n_\delta = U^n + \delta k_n \bar{\partial}^1_B U^n $ 测试离散方程，实现在希尔伯特空间设置下的能量估计。
• 在条件 $ r_n = k_n/k_{n-1} < \sqrt{2}+1 $ 下证明了 $ l^\infty(0,T;H) $-稳定性，该条件与零稳定性边界完全一致，采用谱分析与能量方法。
• 通过相容性分析与稳定性结果推导误差估计，获得在 $ l^\infty(0,T;H) $、$ l^\infty(0,T;V) $、$ l^2(0,T;H) $ 和 $ l^2(0,T;V) $ 范数下的全局误差界。
• 初始值 $ U^1 $ 通过梯形法则或后向欧拉格式计算，后者被证明在某些范数下会导致阶数降低。

实验结果

研究问题

• RQ1 确保变步长BDF2方法 $ l^\infty(0,T;H) $-稳定的步长比上界是否与零稳定性阈值 $ R_0 = \sqrt{2}+1 $ 相同？
• RQ2 与先前工作相比，是否可在更宽松的步长比条件下建立变步长BDF2方法的 $ l^\infty(0,T;V) $-稳定性？
• RQ3 初始值计算方法的选择（梯形法则与后向欧拉法）是否会影响BDF2方法的收敛阶，特别是在 $ l^\infty(0,T;V) $ 和 $ l^2(0,T;H,H) $ 范数下？
• RQ4 变步长BDF2方法是否能在非均匀网格上对线性和半线性抛物方程保持二阶收敛？
• RQ5 在使用后向欧拉法计算 $ U^1 $ 时，常步长BDF2方法中观察到的阶数降低现象是否也存在于变步长变体中？

主要发现

• 证明了确保变步长BDF2方法 $ l^\infty(0,T;H) $-稳定的步长比上界与零稳定性阈值 $ R_0 = \sqrt{2}+1 \approx 2.414 $ 完全相同，解决了关键的理论问题。
• 在放宽条件 $ r_n < \sqrt{2}+1 $ 下建立了 $ l^\infty(0,T;V) $-稳定性，优于先前工作中的边界值（如 $ 1.366 $ 或 $ 1.868 $）。
• 该方法在变时间网格上对线性和半线性抛物方程均实现了在 $ l^\infty(0,T;H) $、$ l^\infty(0,T;V) $、$ l^2(0,T;H) $ 和 $ l^2(0,T;V) $ 范数下的二阶收敛。
• 数值实验验证了当 $ \varpi = 3 $ 时，变步长BDF2保持二阶收敛，且在所有测试范数下均优于常步长BDF2的精度。
• 当使用后向欧拉法计算 $ U^1 $ 时，常步长BDF2在 $ l^\infty(0,T;V) $ 和 $ l^2(0,T;H,H) $ 范数下表现出阶数降低，但通过减小 $ k_1 $ 可在变步长情形下缓解该现象。
• 变步长BDF2方法保持了二阶精度，并在性能上显著优于常步长变体，尤其在解快速变化的区域表现更优。